Question

Calcule as seguintes integrais pelo método de integração por partes

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x\arcsin(7x)+\dfrac{\sqrt{1-49x^2}}{7}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral pela técnica de integração por partes, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \arcsin(7x)\,dx}$

Lembre-se da fórmula de integração por partes: $\displaystyle{\int u\,dv=uv-\int v\,du}$

Então, devemos escolher quem será $u$ e quem será $dv$. Para a escolha de $u$, temos o critério LIATE: dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Assim, escolhemos $u=\arcsin(7x)$ e $dv=dx$, pois $1\,dx=x^0\,dx$.

Diferencie ambos os lados da expressão em $u$:

$u'=(\arcsin(7x))'\\\\\\ du=(7x)'\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-(7x)^2}}\,dx\\\\\\ du=\dfrac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}\,dx$

Agora, integre a expressão em $dv$:

$\displaystyle{\int dv=\int dx}\\\\\\v=x$

Assim, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\arcsin(7x)\cdot x-\int x\cdot\dfrac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}\,dx$

Multiplique os valores e calcule a potência

$\displaystyle{x\arcsin(7x)-\int\dfrac{7x}{\sqrt{1-49x^2}}\,dx$

Na segunda integral, faça uma substituição $1-49x^2=t$. Diferenciando ambos os lados da expressão, temos:

$t'=(1-49x^2)'\\\\\\ dt=-49\cdot 2\cdot x\\\\\\ dt=-98x\,dx$

Isole $dx$

$dx=-\dfrac{dt}{98x}$

Veja que este elemento já está presente na integral, logo

$\displaystyle{x\arcsin(7x)-\int\dfrac{7x}{\sqrt{t}}\cdot\left(-\dfrac{dt}{98x}\right)$

Multiplique os valores

$\displaystyle{x\arcsin(7x)+\int\dfrac{dt}{14\sqrt{t}}$

Transforme $\dfrac{1}{\sqrt{t}}=t^{-\frac{1}{2}}$ e aplique a regra da constante e da potência

$\displaystyle{x\arcsin(7x)+\dfrac{1}{14}\cdot\int t^{-\frac{1}{2}}\,dt}\\\\\\ x\arcsin(7x)+\dfrac{1}{14}\cdot\left(\dfrac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\dfrac{1}{2}+1}}+C_1\right)$

Some os valores, calcule a fração e aplique a propriedade distributiva da multiplicação

$x\arcsin(7x)+\dfrac{1}{14}\cdot\left(\dfrac{t^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}}+C_1\right)\\\\\\\\ x\arcsin(7x)+\dfrac{1}{14}\cdot2\sqrt{t}+\dfrac{C_1}{14}$

Multiplique os valores, desfaça a substituição e considere $\dfrac{C_1}{14}=C$

$x\arcsin(7x)+\dfrac{\sqrt{1-49x^2}}{7}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.