calcule as raízes da seguinte equacão: x2 -2x -3=0
Soluções para a tarefa
Resposta:
S={ 3; -1}
Explicação passo-a-passo:
X² - 2X - 3= 0
∆= b² -4×a×c
∆= (-2)² -4×1×(-3)
∆= 4 + 12
∆= 16
X= -b ± √∆
2.a
X= -(-2) ± √16
2.1
X= 2 ± 4
2
X'= 2 + 4
2
X'= 6
2
X'= 3
X"= 2 - 4
2
X= -2
2
X"= -1
S={ 3; -1}
BONS ESTUDOS!!!
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
RESOLUÇÃO:
OBSERVAÇÃO 1: Na resolução, será considerado como conjunto universo o conjunto dos números reais (R), em virtude de nada haver sido explicitado a respeito disso pelo enunciado. Em virtude disto, se o discriminante (Δ) resultar em valor negativo, não serão indicadas raízes no conjunto dos números complexos.
(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
1.x² - 2.x - 3 = 0 (Veja a Observação 2.)
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 1, b = (-2), c = (-3)
OBSERVAÇÃO 2: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido (assim, em vez de 1.x, tem-se x). No caso de coeficiente -1, pode-se escrever apenas o sinal de negativo (assim, em vez de -1.x, tem-se -x).
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(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (-2)² - 4 . (1) . (-3) ⇒
Δ = 4 - 4 . (1) . (-3) ⇒ (Veja a Observação 3.)
Δ = 4 - 4 . (-3) ⇒ (Veja a Observação 4.)
Δ = 4 + 12 ⇒
Δ = 16
OBSERVAÇÃO 3: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).
OBSERVAÇÃO 4: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva de equação do segundo grau), utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b +- √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(-2) +- √16) / 2 . (1) ⇒
x = (2 +- 4) / 2 ⇒ (2 + 4)/2 = 6/2 ⇒ x' = 3
⇒ (2 - 4)/2 = -2/2 ⇒ x'' = -1
Resposta: Os valores de x (raízes) são -1 e 3.
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:
- S={x E R / x = -1 ou x = 3} (leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos um ou x é igual a três.") ou
- S={-1, 3} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos menos um e três.")
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo x' = -1 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1.x² - 2.x - 3 = 0 ⇒
1 . (-1)² - 2 . (-1) - 3 = 0 ⇒
1 . 1 + 2 - 3 = 0 ⇒
1 + 2 - 3 = 0 ⇒
3 - 3 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = -1 é solução da equação.)
→Substituindo x' = 3 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1.x² - 2.x - 3 = 0 ⇒
1 . (3)² - 2 . (3) - 3 = 0 ⇒
1 . 9 - 2 . (3) = 0 ⇒
9 - 2 . (3) - 3 = 0 ⇒
9 - 6 - 3 = 0 ⇒
9 - 9 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = 3 é solução da equação.)
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