Question

calcule as raizes da seguinte equação: 5x²-3x-2=0

Answer 1

Resposta:

As raízes de 5x²-3x-2=0 são x = 1 e x = -2/5

Explicação passo a passo:

Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Logo o primeiro passo é...

1º passo) Identificar os coeficientes a, b e c na equação de segundo grau:

$\underbrace{(5)}_ax^2\underbrace{(-3)}_bx-\underbrace{(2)}_c=0$

2º passo) Aplicar a fórmula de Bhaskara:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(5)(-2)}}{2(5)}\\x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{10} = \frac{3\pm7}{10} \implies x_1 = \frac{3+7}{10} = \frac{10}{10} = 1, x_2 = \frac{3-7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

3º passo) Validar as raízes:

Validando $x_1 = 1$:

$5(1)^2 - 3(1) -2 = 5 - 3 - 2 = 5 - 5 = 0$

Validando $x_2 = \frac{-2}{5}$:

$5(\frac{-2}{5})^2 -3(\frac{-2}{5}) -2\\\\= 5(\frac{4}{25}) + \frac{6}{5} - 2\\\\= \frac{4}{5} + \frac{6}{5} - 2\\\\= \frac{4 + 6}{5} - 2\\\\= 2 - 2\\\\= 0$

logo, x1 e x2 são as raízes da equação $5x^2-3x-2=0$.

A seguir, uma forma alternativa de resolução...

Há uma forma mais simples de resolver, sem utilizar a fórmula de Bhaskara. Ao bater o olho na equação, sempre teste os números -1, 0 e 1 para o valor de x.

Repare que nesse caso, em conformidade com o resultado obtido, x = 1 é raíz. Sendo assim sabemos que o polinômio $5x^2-3x-2=0$ é divisível pelo polinômio $(x-1)$, daí segue que existe um outro polinômio de primeiro grau tal que:

$5x^2-3x-2 = (x-1)(ax+b)$

Fazendo a distributiva do lado direito, obtemos:

$5x^2-3x-2 = (x-1)(ax+b) = ax^2 + (b-a)x -b$

Da onde segue que a = 5 e b = -2. Podemos então reescrever o polinômio do lado direito como

$5x^2-3x-2 = a(x-1)(x+\frac{b}{a})$

E como $x = \frac{-b}{a}$ é raíz da decomposição do lado direito, uma vez que zera a parcela $(x+\frac{b}{a})$, também será raíz do polinômio do lado esquerdo, já que ambos são iguais.