Question

Calcule as raízes da equação biquadrada​

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\blue \bigstar \: \: \sf x {}^{4} + 15x {}^{2} - 16 = 0 \: \: \blue \bigstar$

• Para resolver uma equação biquadrada, temos que atribuir uma incógnita a um certo termo que a torne do segundo grau, esse termo será x², chamarei esse tal termo de y.

$\sf \red\ast \: \: x {}^{2} = y \: \: \red \ast$

Vamos substituir na equação essa nova incógnita onde tiver x².

$\sf x {}^{4} + 15x {}^{2} - 16 = 0 \\ \sf (x {}^{2} ) {}^{2} + 15x {}^{2} - 16 = 0 \\ \sf (y) {}^{2} + 15y - 16 = 0 \\ \sf y {}^{2} + 15y - 16 = 0 \Leftarrow \red \bullet$

Agora podemos resolver essa equação normalmente através de Delta e Bháskara.

• Coeficientes:

$\sf \red1y {}^{2} + \green{15}y \purple{ - 16 }= 0 \rightarrow \begin{cases} \sf a = \red 1 \\ \sf b = \green{15} \\ \sf c = \purple{- 16} \end{cases}$

• Discriminante (∆):

$\sf \Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \sf\Delta = 15 {}^{2} - 4.1.( - 16) \\ \sf \Delta = 225 + 64 \\ \sf \Delta = 289$

• Bháskara:

$\sf y= \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ \sf y = \frac{ - 15 \pm \sqrt{289} }{2.1} \\ \\ \sf y = \frac{ - 15 \pm 17}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf y_1 = \frac{ - 15 + 17}{2} \\ \sf y _1 = \frac{2}{2} \\ \sf y_1 = 1 \end{cases} \begin{cases} \sf y_2 = \frac{ - 15 - 17}{2} \\ \sf y _2 = \frac{ - 32}{2} \\ \sf y _2 = - 16 \end{cases}$

Encontramos os valores de "y", mas lembre que no começo dissemos que y é igual a x², portanto vamos ter que substituir os valores nessa relação.

$\begin{cases}\sf x {}^{2} = y_1 \\ \sf x {}^{2} = 1 \\ \sf x = \sqrt{1} \\ \sf x = \pm 1 \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases} \sf x {}^{2} = y _2 \\ \sf x {}^{2} = - 16 \\ \sf x = \sqrt{ - 16} \\ \sf x = \pm 4i \end{cases}$

Portanto temos que as raízes dessa equação são:

$\orange\bigstar \: \: \red{ \boxed{ \sf S = \{ -1 ,1, - 4i + 4i \}}} \: \: \orange\bigstar$

Espero ter ajudado