Question

Calcule as raízes cubicas de z = 27

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se as raízes cúbicas do complexo z = 27 + 0i (note: como o complexo não tem a sua parte imaginária, então a complementamos com zero).

Veja: quando se pede as raízes cúbicas de um complexo que está na sua forma algébrica (z = a + bi), deveremos transformá-la para a sua forma trigonométrica [z = |z|*(cos(α) + isen(α))].

Então vamos passar z = 27 + 0i para a sua forma trigonométrica.
Para isso, encontraremos o seu módulo.
Note que um complexo da forma z = a + bi, o seu módulo é encontrado assim:

|z| = √(a² + b²).

Então o complexo da sua questão, que é z = 27 + 0i , o seu módulo será:

|z| = √(27² + 0²)
|z| = √(729 + 0)
|z| = √(729) ----- como √(729) = 27, teremos:
|z| = 27.

Agora vamos encontrar qual é o argumento (α).
Veja que num complexo da forma z = a + bi, com módulo igual a |z| terá o seu argumento (α) encontrado assim:

cos(α) = a/|z|
sen(α) = b/|z|.

Assim, o complexo z = 27 + 0i, cujo módulo é igual a "27", terá o seu argumento (α) encontrado assim:

cos(α) = 27/27 = 1
sen(α) = 0/27 = 0.

Note que, em todo o círculo trigonométrico, o cosseno é igual a "1" e o seno é igual a zero no arco de 0º.
Assim, teremos que o argumento do complexo da sua questão será: α = 0º.

Como já temos o módulo (27) e o argumento (0º) do número complexo z = 27 + 0i, vamos para a sua fórmula trigonométrica, que é dada assim:

z = 27*[cos(0º) + isen(0º)]

Como queremos encontrar é a raiz cúbica de z = 27 + 0i, então ficaremos com:

z = ∛(27)*[cos(0º) + isen(0º)] ---- como ∛(27) = 3, teremos:
z = 3*[cos(0º) + isen(0º)].

Agora veja: como queremos encontrar todas as três raízes cúbicas do complexo z = 27 + 0i, então vamos fazer "k" = "0", "1" e "2", na seguinte fórmula (chamada fórmula de Moivre):

z = 3*[cos(0º/3 + 2kπ/3) + isen(0º/3 + 2kπ/3)], com k = 0; 1; e 2 (como já vimos antes). Assim, vamos encontrar as raízes z₀;  z₁ e z₂, que serão as três raízes cúbicas quando k = 0, k = 1 e k = 2, respectivamente.
Assim, teremos:

i) Para k = 0, teremos:

z₀ = 3*[cos(0º/3 + 2*0*π/3) + isen(0º/3 + 2*0*π/3)]
z₀ = 3*[cos(0º + 0º) + isen(0º + 0º)]
z₀ = 3*[cos(0º) + isen(0º)] ---- como cos(0º) = 1 e sen(0º) = 0, teremos:
z₀ = 3*[1 + 0]
z₀ = 3*1 + 3*0
z₀ = 3 + 0
z₀ = 3 <--- Esta é a primeira raiz cúbica do complexo z = 27 + 0i.

ii) Para k = 1, teremos;

z₁ = 3*[cos(0º/3 + 2*1*π/3) + isen(0º/3 + 2*1*π/3)]
z₁ = 3*[cos(0º + 2π/3) + isen(0º + 2π/3)]

Veja que: 2π/3 = 2*180º/3 = 360º/3 = 120º. Assim:

z₁= 3*[cos(0º+120º) + isen(0º+120º)]
z₁ = 3*[cos(120º) + isen(120º)]

Veja que cos(120º) = -1/2; e sen(120º) = √(3)/2. Assim, substituindo-se, teremos:

z₁ = 3*[-1/2 + i√(3)/2]
z₁ = 3*(-1/2) + 3i√(3)/2
z₁ = - 3/2 + 3i√(3)/2 <--- Esta é a segunda raiz cúbica de z = 27 + 0i.

 iii) Finalmente, para k = 2, teremos:

z₂ = 3*[cos(0º/3 + 2*2*π/3) + isen(0º/3 + 2*2*π/3)]
z₂ = 3*[cos(0º + 4π/3) + isen(0º + 4π/3)]

Veja que 4π/3 = 4*180º/3 = 720º/3 = 240º. Assim, substituindo-se, temos:

z₂ = 3*[cos(0º + 240º) + isen(0º + 240º)] --- ou apenas:
z₂= 3*[cos(240º) + isen(240º)]

Note que cos(240º) = -1/2 e sen(240º = -√(3)/2. Assim, substituindo-se, temos:

z₂ = 3*[-1/2 + i*(-√(3)/2]
z₂ = 3*[-1/2 - i√(3)/2]
z₂ = 3*(-1/2) - 3i*(√(3)/2
z₂ = - 3/2 - 3i√(3)/2 <--- Esta é, finalmente, a 3ª raiz cúbica de z = 27 + 0i.

iv) Assim, resumindo, temos que as três raízes cúbicas de z = 27 + 0i serão estas:

z₀ = 3
z₁ = - 3/2 + 3i√(3)/2
z₂ = - 3/2 - 3i√(3)/2

Pronto. As três raízes cúbicas do complexo z = 27 + 0i são as encontradas aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.