Question

Calcule as medidas indicadas no triángulo isósceles ABC, considerando que AH é a altura referente ao lado BH e que CP é a bissetriz do ângulo C. Calcule também as medidas do triângulo equilátero DEF,sabendo que DM é a mediana do lado EF.

Answer 1

Resposta:

a)

ângulo amarelo (3x): 33º

ângulo azul claro (5t + 3º): 33º

ângulo laranja (y): 66º

ângulo vermelho (z): 123º

b)

x (azul) = 90º

y (verde)= 30º

z (amarelo)= 60º

Explicação passo-a-passo:

a) Se o triângulo é isósceles e AH é a altura, o triângulo ACH é retângulo, pois o ângulo H é reto. Então, neste triângulo temos:

HAC = 24º

H = 90º

C = (3x) + (5t + 3º)

Como CP é a bissetriz do ângulo C:

3x = 5t + 3º

E, então:

C = 3x + 3x

C = 6x

Como sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º:

24º + 90º + 6x = 180º

6x = 180º - 90º - 24º

6x = 66º

x = 66º/6

x = 11º

E o ângulo C mede:

C = 6 × 11º

C = 66º

Como ângulo C é formado pelos ângulos azul claro e amarelo, e CP é a bissetriz dele, eles medem:

Azul claro: 33º

Amarelo: 33º

Como o triângulo ABC é isósceles, os ângulos da base são iguais:

B = C = 66º (medida do ângulo laranja)

Finalmente, a medida do ângulo z (vermelho) será calculada sabendo-se que a soma dos ângulos internos do triângulo APC é igual a 180º:

24º + 33º + z = 180º

z = 180º - 33º - 24º

z = 123º (medida do ângulo vermelho)

b) Se o triângulo DEF é equilátero, seus ângulos medem 60º:

D = E = F = 60º

Em um triângulo equilátero, a mediana também é bissetriz e altura. Assim o triângulo DEM é retângulo e:

x = 90º

y = 60º/2 = 30º

Para o cálculo de z, mais uma vez lembramos que a soma dos ângulos internos do triângulo DMH é igual a 180º e, assim:

D + M + H = 180º

Neste triângulo, temos:

D = 60º/2 = 30º

H = 90º

Então:

D + H + z = 180º

z = 180º - D - H

z = 180º - 30º - 90º

z = 60º