Question

Calcule as medidas dos lados do retângulo de área máxima cujo perímetro é igual a 100 m.

Answer 1

(1) x * y = A
(2) 2x + 2y = 100

vamos fazer (2) igual a y
2x + 2y = 100

2y = 100 -2x
y = (100 -2x)/2
y = 50 - x
vamos substituir o resultado a cima em (1)

x * (50 - x) = A
50x - x² = A
Com essa equação pode ser traçado um gráfico (x por A),
O ponto máximo do gráfico é o onde a área é maior, isto é, x=25. 
Substituindo em (2): 
2(25) + 2y = 100 
50 + 2y = 100 
2y = 100 - 50 
y = 50/2 
y = 25 

Portanto, x=y=25 para a maior área, A=625.

Olha que coisa! Também dá pra calcular sem fazer gráficos. Porém, é necessário um certo conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral para isso. 

Equação: 
A = 50x - x² 

Primeira derivada: 
A' = 50 - 2x 

Segunda derivada: 
A'' = -2 
Como este valor é negativo, a raiz da primeira derivada é o valor que x assume tornando a área a maior possível. 

Calculando raíz da primeira derivada: 
0 = 50 - 2x 
2x = 50 
x = 25 

Assim provamos matematicamente que 25 é um dos lados que torna a área a maior possível, e como já calculado, para um lado x=25, o outro também será (y=25).