Question

Calcule as limites
Obs: Limites indeterminados utilizamos as regras de L'Hopital.

Answer 1

Olá

a) $\lim_{x \to 0} \frac{x-sen(x)}{x^3}$

Observe que nesse primeiro limite temos uma indeterminação $\frac{0}{0}$

Portando, usaremos L'Hopital

Lembrando que para utilizarmos L'Hopital precisamos derivar o numerador e o denominador até "tirar" a indeterminação. Então:

Derivando:

$\frac{x-sen(x)}{x^3} = \frac{1 - cos(x)}{3x^2} = \frac{sen(x)}{6x} = \frac{cos(x)}{6}$

Portanto, 

$\lim_{x \to 0} \frac{x-sen(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{6} = \frac{1}{6}$

b) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$

Observe que temos uma indeterminação $\frac{\infty}{\infty}$

Daí, derivando até acabar a indeterminação:

$\frac{e^{2x}}{x^3} = \frac{2e^{2x}}{3x^2} = \frac{4e^{2x}}{6x} = \frac{8e^{2x}}{6}$

Logo, $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{8e^{2x}}{6} = \infty$