Question

Calcule as integrais
(x+3)dx

Answer 1

A integral de (x+3)dx é igual a  $\frac{x^2}{2} + 3x + C$

Para calcular a integral de uma expressão, primeiro devemos observar qual o método de integração que melhor se adequa à situação.

Como temos uma soma, podemos aplicar primeiro a regra da soma, que consiste em separar os termos que estão sendo somados ou subtraídos (nesse caso, somados) em diferentes integrais. Logo, temos que:

$\int (x + 3) dx = \int {x} \, dx + \int{3} \, dx$

Agora podemos resolver as integrais. Em ambas usaremos a regra da potência, onde somamos 1 à potência do termo integrado e dividimos o termo pela soma final da potência. Matematicamente (mais fácil de visualizar):

$\int{x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Obs: sempre adicionamos uma constante (C) no resultado da integral indefinida (que não tem limites de integração), pois o conjunto de soluções engloba o resultado somado a qualquer constante (visto que a derivada de uma constante é 0, então se derivarmos o resultado para chegar na integral sempre teremos o mesmo resultado independente do valor da constante)

Aplicando a regra da potência nas integrais encontradas no começo:

• $\int{x} \, dx = \int{x^1} \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + A = \frac{x^2}{2} + A$  (chamamos aqui a constante de A)
• $\int{3} \, dx = \int {3.1} \, dx = \int{3x^0} \, dx = 3\frac{x^{0+1}}{0+1} + B = 3\frac{x^1}{1} + B = 3x + B$ (chamamos aqui a constante de B)

Voltando à equação e substituindo o resultado das integrais:

$\int (x + 3) dx = \int {x} \, dx + \int{3} \, dx = \frac{x^2}{2} + A + 3x + B$

Porém, se somarmos as constantes A e B, teremos como resultado outra constante, ou seja, fazendo A + B = C, o resultado não se altera, e simplificamos a resposta:

$\frac{x^2}{2} + A + 3x + B = \frac{x^2}{2} + 3x + C$

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