Question

CALCULE AS INTEGRAIS USANDO O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES.

A) ∫ X^2 senx dx

b) ∫ e³× cos4x dx

Answer 1

A) ∫ x². senx.dx = u.v - ∫u'.v

u = x² => u' = 2x

dv = senx.dx => v = -cosx

∫ x². senx.dx = (x²).(-cosx) + ∫2x.(cosx).dx

Aplicando integração por partes novamente:

∫2x. cosx.dx = m.n - ∫m'.n

m = 2x => m' = 2

dn = cosx.dx => n = senx

∫2x. cosx.dx = 2x.senx - ∫2.senx.dx = 2x.senx -2.(-cosx) = 2.(x.senx+cosx)

Logo,

∫ x². senx.dx = -x².cosx + 2.(x.senx+cosx) + C

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b) ∫e³× . cos4x dx = u.v - ∫u'.v

u = e³ˣ => u' = 3.e³ˣ

dv = cos(4x).dx => v = sen(4x)/4

∫e³× . cos4x.dx = e³ˣ.(sen4x)/4 - 3/4(∫e³×.sen(4x)dx) [Equação I]

Fazendo substituição na expressão acima em negrito, temos:

∫e³×.sen(4x)dx = m.n - ∫m'.n

m = e³× => m' = 3.e³×

dn = sen(4x).dx => n = -cos(4x)/4

∫e³×.sen(4x) . dx = (e³×.(-cos(4x)/4) - ∫3.e³×(-cos(4x))/4)dx

∫e³×.sen(4x) . dx  = [-e³×.cos(4x)/4 +3/4∫e³×(cos(4x).dx] [II]

Logo, na equação I, substituiremos II;

∫e³× . cos4x.dx = e³ˣ.(sen4x)/4 - 3/4. [-e³×.cos(4x)/4 +3/4∫e³×(cos(4x).dx]

Isolando o [∫e³× . cos4x.dx = k]

k =  e³ˣ.(sen4x)/4 - 3/4.[-e³×.cos(4x)/4 + 3k/4]

25k/16 =  [e³ˣ.(sen4x)/4 + 3e³×.cos(4x)/16]

k = {16[e³ˣ.(sen4x)/4 + 3e³×.cos(4x)/16]}/25

∫e³× . cos4x.dx  = {16[e³ˣ.(sen4x)/4 + 3e³×.cos(4x)]}/25

∫e³× . cos4x.dx  = [4e³ˣ.(sen4x) + 3e³×.cos(4x)]/25

∫e³× . cos4x.dx  = e³ˣ.[4.sen(4x) + 3.cos(4x)]/25 + C