Question

calcule as integrais por substituição.

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int \sqrt{x} .sen {}^{2} (x {}^{ \frac{3}{2} } - 1)dx$

A própria questão já informa a função "u" que será derivada, já que sabemos desse dado, vamos derivá-lo:

$\sf u = x {}^{ \frac{3}{2} } - 1\longrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{3 \sqrt{x} }{2} \longrightarrow \\ \\ \sf \frac{du}{ \frac{3}{2} } = \sqrt{x} .dx \longrightarrow \sf \frac{2du}{3} = \sqrt{x} \: . \: dx$

Repondo as expressões que caracterizam "u":

$\sf \int \sqrt{x} .dx.sen {}^{2} (x {}^{ \frac{3}{2} } - 1)\longrightarrow \int \frac{2du}{ 3} .sen {}^{2} (u)$

Removendo os termos constantes:

$\sf \frac{2}{3} \int sen {}^{2}(u) du$

Para integrar essa parte será necessário lembrar que o seno ao quadrado deve ser substituido pela seguinte expressão:

$\sf sen {}^{2} x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$

Fazendo a tal substituição:

$\sf \frac{2}{3} \int \frac{1 - cos(2u)}{2} du\longrightarrow \frac{2}{3} \int \frac{1}{2} (1 - cos(2u))du \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{2}{6} \int (1 - cos(2u))du\longrightarrow \frac{2}{6} . \left( \int 1du - \int cos(2u)du\right) \\ \\ \sf \frac{1}{3} . \left( u - \frac{sen(2u)}{2} \right)\longrightarrow \frac{1}{3} u - \frac{sen(2u)}{6} \longrightarrow \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{1}{3} - \frac{sen(2x {}^{ \frac{3}{2} } - 2) }{6} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } - 1 }{3} - \frac{sen(2x {}^{ \frac{3}{2} } - 2)}{6} + T , T\in \mathbb{ R }}}}$

Espero ter ajudado