Question

Calcule as integrais indefinidas:

$h) g(t)=\dfrac{2cos^2t+tgt}{cost} \\ \\ \\ \\ i) f(x)=\dfrac{sen^2x}{7cos^2x} +\dfrac{cos^2x}{7cos^2x}$

Answer 1

h)

$\displaystyle \int g(t) \, dt = \int \dfrac{2 \cos^2 t + \tan t}{\cos t}\, dt$

Para calcular essa integral primeiro vamos separar a função g em duas parcelas e usar a identidade  tan(x) = sen(x)/cos(x)

$g(t) = \displaystyle \frac{2\cos^2 t}{\cos t} + \dfrac{\tan t}{\cos t} = 2 \cos t + \dfrac{\sin t}{\cos^2 t} \implies \\[2ex] \phantom{asdfasdfasdfasd}\int g(t) \, dt = 2\int \cos t\, dt + \int\dfrac{\sin t}{\cos^ 2 t}\, dt$

Uma primitiva para cos(t) é sen(t). Para a segunda integral, basta usar a substituição y = cos(t). Logo temos dy = -sen(t)dt. Assim:

$\displaystyle \int\dfrac{\sin t}{\cos^ 2 t}\, dt = \int \dfrac{- (-\sin t \, dt)}{\cos^2 t} = \int - \dfrac{1}{y^2}\,dy = \dfrac{1}{y} + C = \dfrac{1}{\cos t}+C$

(Usamos uma primitiva de yⁿ é yⁿ⁺¹/(n+1) com n não nulo para calcularmos a integral de y⁻²). Logo, concluímos que

$\displaystyle \int g(t)\, dt = 2 \sin t + \dfrac 1{\cos t} + C$

i)

$\displaystyle \int f(x)\, dx = \int \dfrac{\sin^2 x}{7 \cos^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{7 \cos^2 x} \, dx$

Já para essa questão, primeiramente recordamos a identidade trigonométrica

$\sin^2x + \cos^2x = 1$

Usando isso, a função f pode ser escrita como:

$f(x) = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2x}{7 \cos^2 x} = \dfrac{1}{7 \cos^2 x} \implies \displaystyle \int f(x)\, dx = \dfrac 17 \int \dfrac 1{\cos^2 x}\, dx$

Também recordamos que sec(x) = 1/cos(x). Ou seja, queremos calcular a integral de secante ao quadrado. Mas essa é justamente a derivada de tan(x). Logo:

$\displaystyle \int f(x)\, dx = \dfrac 17 \int \sec^ 2 x\, dx = \dfrac {\tan x}7 + C$

Respostas:

h) $2 \sin t+ \dfrac{1}{\cos t}+C$

i) $\dfrac {\tan x}7 + C$

Answer 2

Olá Jacque!

Integrais indefinidas

Vamos lá.

h)

$g(t) = \frac{2cos^2 t + tg t}{cost}$

• Considere a soma entre frações de mesmo denominador:

$g(t) = \frac{2cos^2 t}{cost} + \frac{tgt}{cost}$

✓ Observe que:

$tgt = \frac{sent}{cost}$

• Substitua:

$g(t) = \frac{2cos^2 t}{cost} + \frac{\frac{sent}{cost}}{cost}$

$g(t) = \frac{2\cancel{cos^2 t}}{\cancel{cost}} + \frac{sent}{cos^2t}$

• Temos então:

$\int \left ( 2cost + \frac{sent}{cos^2t}\right )dt$

$\int 2cost dt + \int \frac{sent}{cost^2 t} dt$

✓ Nota:

$cost' = sent$

• Vamos encontrar a outra integral:

$\int \frac{sent}{cos^2t} dt$

$\int \frac{sent}{cost} \cdot \frac{1}{cost}dt$

✓ Perceba a equivalência: tgt e sect.

$\int tgt \cdot sect \space dt$

$sect + C$

• Agora basta substituir na soma:

$\int \frac{cos^2 t + tgt}{cost}dt = \boxed{2sent + sect + C}$

(RESPOSTA)

i)

$f(x) = \frac{sen^2 x}{7cos^2 x} + \frac{cos^2 x}{7cos^2 x}$

• Podemos utilizar a equação fundamental da trigonometria para reduzir a expressão.

$sen^2 x + cos^2 x = 1$

$f(x) = \frac{1}{7cos^2 x}$

$f(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{cos^2 x}$

• Integral:

$\frac{1}{cosx} = secx$

✓ Logo:

$\frac{1}{cos^2 x} = sec^2 x$

• Novamente substituindo na integral:

$\frac{1}{7} \int sec^2 x \space dx$

Dado:

$\frac{d}{dx} tgx = sec^2 x$

• Então:

$\int \frac{sen^2 x}{7cos^2 x} + \frac{cos^2 x}{7cos^2 x} dx= \boxed{ \frac{tgx}{7} + C}$

(RESPOSTA)

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Bons estudos! ^^