Question

Calcule as integrais indefinidas abaixo

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~60+e^2-e^4~|~b)~65-e^4~|~c)~0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos cada uma das integrais definidas abaixo, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

a)  $\displaystyle{\int_2^4 x^3-e^x\,dx}$

Primeiro, devemos calcular a integral indefinida e então, aplicarmos os limites de integração.

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$.

Então, aplicando a regra da soma, temos

$\displaystyle{\int_2^4 x^3\,dx-\int_2^4e^x\,dx}$

Aplique a regra da potência e calcule a integral da função exponencial

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}~\biggr|_2^4-e^x~\biggr|_2^4$

Some os valores

$\dfrac{x^{4}}{4}~\biggr|_2^4-e^x~\biggr|_2^4$

Aplique os limites de integração de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo. A integral definida de uma função é dada por $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx =F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$. Assim, teremos:

$\dfrac{4^{4}}{4}-e^4-\left(\dfrac{2^4}{4}-e^2\right)$

Simplifique as frações

$64-e^4-\left(4-e^2\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$64-e^4-4+e^2$

Some os termos semelhantes

$60+e^2-e^4$

Este é o resultado desta integral.

b) $\displaystyle{\int_0^4 x^3-e^x\,dx}$

Veja que este integrando é o mesmo, porém os limites são diferentes.

Então, aplicando a regra da soma

$\displaystyle{\int_0^4 x^3\,dx-\int_0^4e^x\,dx}$

Aplicando a regra da potência e calculando a integral da função exponencial, temos

$\displaystyle{\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^4-e^x~\biggr|_0^4$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\dfrac{4^4}{4}-e^4-\left(\dfrac{0^4}{4}-e^0\right)$

Calcule as frações e as potências, sabendo que $e^0=1$

$\displaystyle{64-e^4-(0-1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$64-e^4+1$

Some os termos semelhantes

$65-e^4$

Este é o resultado desta integral.

c)  $\displaystyle{\int_0^{\pi} 6\cos(x)\,dx}$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a integral da função, ou seja: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral da função cosseno é a função seno: $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)$.

Assim, aplicando a regra da constante, temos

$\displaystyle{6\cdot\int_0^{\pi} \cos(x)\,dx}$

Calcule a integral da função cosseno

$\displaystyle{6\cdot\sin(x)~\biggr|_0^{\pi}$

Aplique os limites de integração

$6\cdot(\sin(\pi)-\sin(0))$

Sabendo que $\sin(\pi)=\sin(0)=0$, temos

$6\cdot(0-0)$

Multiplicando os valores

$0$

Este é o resultado desta integral.