Question

Calcule as integrais indefinidas a seguir

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas integrais, devemos relembrar algumas técnicas de integração.

a)  $\displaystyle{\int 8x\cdot\sqrt{1-2x^2}\,dx}$

Primeiro, fazemos a substituição $x=\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{2}}$. Derivando implicitamente ambos os lados para encontrarmos o diferencial, teremos:

$x'=\left(\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{2}}\right)'$

Veja no primeiro PDF em anexo: as regras que serão utilizadas na resolução.

Aplicando estas regras $(1.)$, teremos:

$dx=\dfrac{\cos(\theta)}{\sqrt{2}}\,d\theta$

Substituindo estas informações na integral, teremos:

$\displaystyle{\int 8\cdot\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{1-2\cdot\left(\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{2}}\right)^2}\cdot\dfrac{\cos(\theta)}{\sqrt{2}}\,d\theta}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\displaystyle{\int 8\cdot\dfrac{\sin(\theta)\cdot\cos(\theta)}{2}\cdot\sqrt{1-2\cdot\dfrac{\sin^2(\theta)}{2}}\,d\theta}\\\\\\ \\\ \displaystyle{\int 4\cdot\sin(\theta)\cos(\theta)\cdot\sqrt{1-\sin^2(\theta)}\,d\theta}$

Sabendo $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$, podemos ver que $\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=\cos(\theta)$, logo

$\displaystyle{\int 4\sin(\theta)\cos(\theta)\cdot\cos(\theta)\,d\theta}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int 4\sin(\theta)\cos^2(\theta)\,d\theta}$

Então, fazemos outra substituição $t=\cos(\theta)$. Derivando ambos os lados para encontrar o diferencial, lembrando que $(\cos(\theta))'=-\sin(\theta)$, teremos

$dt=-\sin(\theta)\,d\theta$.

Multiplique ambos os lados da equação por $-1$

$-dt=\sin(\theta)\,d\theta$

Perceba que o diferencial já está presente na integral, logo substituindo as informações, teremos

$\displaystyle{\int 4t^2\,(-dt)}$

$(2.)$

Aplicando estas regras, teremos:

$-4\cdot\dfrac{t^3}{3}$

Desfaça a substituição $t=\cos(\theta)$

$-4\cdot\dfrac{\cos^3(\theta)}{3}$

Sabendo que $\cos(\theta)=\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=(1-\sin^2(\theta))^{\frac{1}{2}}$ e que $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$, teremos

$-4\cdot\dfrac{(1-\sin^2(\theta))^{\frac{3}{2}}}{3}$

Desfaça a substituição $\sin(\theta)=x\sqrt{2}$

$-4\cdot\dfrac{(1-(x\sqrt{2})^2)^{\frac{3}{2}}}{3}$

Calcule a potência e adicione a constante de integração

$-4\cdot\dfrac{(1-2x^2)^{\frac{3}{2}}}{3}+C,~C\in\mathbb{R}$

b)  $\displaystyle{\int \ln^3(2x)\,dx}$

Fazendo uma substituição $t=\ln(2x)$, derivamos ambos os lados para encontrar o diferencial. Para isto, veja as regras no PDF em anexo:

Aplicando estas regras, teremos

$dt=(2x)'\cdot \dfrac{1}{2x}\,dx$

Calcule a derivada e multiplique as frações

$dt=\dfrac{1}{x}\,dx$

Isolando o diferencial $dx$, teremos

$x\,dt=dx$

Porém, como integraremos em respeito a variável $t$, pomos $x$ em função de $t$ fazendo:

$\ln(2x)=t~\Rightarrow~2x=e^t~\Rightarrow~x=\dfrac{e^t}{2}$.

Teremos a integral:

$\displaystyle{\int t^3\cdot \dfrac{e^t}{2}\,dt}$

Aplicando a propriedade da constante, temos

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int t^3\cdot e^t\,dt}$

Para calcularmos esta derivada, integramos por partes. Fazendo $u=t^3$ e $dv=e^t\,dt$, derivamos a expressão em $u$ e integramos o diferencial $dv$:

$du=3\cdot t^2\\\\\\ \displaystyle{v=\int\,dv=\int e^t\,dt=e^t}$

Dessa forma, sabendo que $\displaystyle{\int u,dv=u\cdot v-\int v\,du}$, teremos

$\displaystyle{ \dfrac{1}{2}\left(t^3\cdot e^t-\int e^t\cdot 3t^2\,dt}\right)$

Aplicamos novamente a integral por partes na segunda integral

$\displaystyle{ \dfrac{1}{2}\left(t^3\cdot e^t-3\cdot\left(t^2\cdot e^t-\int e^t\cdot 2t\,dt}\right)\right)$

Integramos por partes novamente

$\displaystyle{ \dfrac{1}{2}\left(t^3\cdot e^t-3\cdot\left(t^2\cdot e^t-2\cdot\left(t\cdot e^t-\int e^t\,dt}\right)\right)\right)$

Calculando a integral da função exponencial, temos

$\displaystyle{ \dfrac{1}{2}\cdot(t^3\cdot e^t-3\cdot(t^2\cdot e^t-2\cdot(t\cdot e^t- e^t})))$

Desfaça a substituição $t=\ln(2x)$, efetue a propriedade distributiva da multiplicação e adicione a constante de integração

$x\ln^3(2x)-3x\ln^2(2x)+6x\ln(2x)-6x+C,~C\in\mathbb{R}$

Acompanhe a solução da última integral no PDF em anexo:

7966f6ee2b42bfd007243bd579f25eab.pdf

3c856d64a250659007c42e542c929e39.pdf