Question

Calcule as integrais indefinidas

Answer 1

Resposta:

a)  2x⁵/5 - x²+10x +c

b) x²/4-1/4*x*sin(2x)-1/8*cos(2x) +c

c) log(x³+1) +c

Answer 2

Respostas: a) 2x⁵/5 – x² + 10x + C, b) 1/2(x² – xsen2x – cos2x/2) + C e c) ln(|x³ + 1|) + C.

Em todos os itens aplicaremos as propriedades quando possível e calcularemos as integrais, mas farei de uma forma mais resumida, principalmente o item b), lembrando sempre de adicionar a constante no final de cada integração [eu particularmente gosto de fazer assim (menos quando integro por partes), mas não é necessário, tendo em vista que é só adicionar a constante no final de tudo].

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Item a)

$\displaystyle\int 2x^4+3x+3-5x+7\,dx$

Reduza os termos semelhantes coloque o fator comum em evidência:

$=~~\displaystyle\int 2x^4-2x+10\,dx$

$=~~\displaystyle\int 2(x^4-x+5)\,dx$

$=~~2\displaystyle\int x^4-x+5\,dx$

Aplicando as propriedades:

$=~~2\bigg(\displaystyle\int x^4\,dx-\displaystyle\int x\,dx+\displaystyle\int5\,dx\bigg)$

$=~~2\bigg(\dfrac{x^5}{5}+c_1-\dfrac{x^2}{2}+c_2+5x+c_3\bigg)$

$=~~\dfrac{2x^5}{5}-x^2+10x+C$

$\boxed{\displaystyle\int 2x^4+3x+3-5x+7\,dx=\dfrac{2x^5}{5}-x^2+10x+C}$

Item b)

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx$

$=~~2\displaystyle\int xsen^2x\,dx$

Integrando por partes (confira uma melhor explicação na última que respondi para você), faremos u = x e dv = sen²x dx, de modo que:

$\begin{cases}u=x~\Leftrightarrow~\dfrac{du}{dx}=1~\Leftrightarrow~du=dx\\\vee\\dv=sen^2x\,dx~\Leftrightarrow~v=\displaystyle\int sen^2x\,dx~\Leftrightarrow~v=\dfrac{x}{2}-\dfrac{sen2x}{4}\end{cases}$

Portanto:

$\displaystyle\int u\,dv=uv-\displaystyle\int v\,du$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg[x\bigg(\dfrac{x}{2}-\dfrac{sen2x}{4}\bigg)-\displaystyle\int\dfrac{1}{2}\bigg(x-\dfrac{sen2x}{2}\bigg)\,dx\bigg]$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x-\dfrac{sen2x}{2}\,dx\bigg)$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{1}{2}\bigg(\displaystyle\int x-\displaystyle\int \dfrac{sen2x}{2}\,dx\bigg)\bigg]$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{1}{2}\bigg(\displaystyle\int x-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int sen2x\,dx\bigg)\bigg]$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}\bigg(-\dfrac{cos\,2x}{2}\bigg)\bigg)\bigg]$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{cos\,2x}{4}\bigg)\bigg]$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{cos\,2x}{8}\bigg)$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg(\dfrac{2x^2-x^2}{4}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{cos\,2x}{8}\bigg)$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=2\bigg(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{xsen2x}{4}-\dfrac{cos\,2x}{8}\bigg)$

$\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xsen2x}{2}-\dfrac{cos\,2x}{4}+C$

$\text{ \boxed{\displaystyle\int 2xsen^2x\,dx=\dfrac{1}{2}\bigg(x^2-xsen2x-\dfrac{cos\,2x}{2}\bigg)+C} }$

Obs.: para calcular a integral de sen²x, aplique a identidade sen²x = (1 – cos2x)/2 e calcule a integral dela.

Item c)

$\displaystyle\int \dfrac{3x^2}{x^3+1}\,dx$

Note que (x³ + 1)' = 3x², ou seja, a derivada do denominador é exatamente igual ao numerador, portanto faremos u = x³ + 1, desse modo:

$u=x^3+1~\Leftrightarrow~\dfrac{du}{dx}=3x^2~\Leftrightarrow~du=3x^2\,dx$

Fazendo as substituições:

$=~~\displaystyle\int \dfrac{1}{x^3+1}\,3x^2\,dx$

$=~~\displaystyle\int \dfrac{1}{u}\,du$

Veja que esse é um caso típico onde a integral de 1/x dx é igual ln(|x|) (pois [ln(|x|)]' = 1/x), então:

$=~~ln(|u|)+C$

Retrocando pela antiga variável, obtém-se:

$=~~ln(|x^3+1|)+C$

$\boxed{\displaystyle\int \dfrac{3x^2}{x^3+1}\,dx=ln(|x^3+1|)+C}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.