Question

Calcule as integrais impróprias, caso existam:

a) ∫_0^(+ ∞)▒〖e^(-x) dx〗
b) ∫_0^(+ ∞)▒〖x⋅2^(-x) dx 〗

Answer 1

Olá.

Vamos fazer esses cálculos, mas vamos trocar o limite superior da integral por um valor t, e depois faremos esse t tender ao infinito para ver se essa integral converge ou diverge, certo?

a)

$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_{0}^t e^{-x}dx$

A integral de $e^{-x}$ é calculada trivialmente com uma substituição u = -x → du = -dx. Assim,

$\displaystyle\lim_{t \to\infty}\displaystyle\int_{0}^{-t} -e^u du = \displaystyle\lim_{t\to\infty}(-e^{-t} + e^0)= 1$

Essa primeira integral imprópria existe e vale 1.


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b) $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_0^t x.2^{-x}dx$

Vamos calcular apenas a integral, depois tomamos o limite. Fazemos uma substituição u = -x para retirar o sinal de menos do expoente.

$\displaystyle\int_0^{-t} u . 2^u du$

Para resolver essa integral, vamos fazer por partes, pois aparece um termo complicado que é a exponencial.

Fazemos:

$U = u\to dU = du\\ \\ dV = 2^u du \to V = \frac{1}{\ell n2}2^u$

Das integrais por partes, temos:

$\displaystyle\int UdV = UV-\displaystyle\int VdU$

$\displaystyle\int_{0}^{-t} 2^udu = \left \dfrac{u.2^u}{\ell n2}\right|_{0}^{-t} - \dfrac{1}{\ell n2}\displaystyle\int_0^{-t}2^udu = \dfrac{-t}{2^t \ell n2} -\left \dfrac{1}{\ell n^22}2^u\right|_{0}^{-t} = \\ \\ \\ = \dfrac{-t}{2^t\ell n2} -\dfrac{2^{-t}}{\ell n^2 2} +\dfrac{1}{\ell n^22}$

Agora aplicamos o limite.

A primeira parcela é nula, pode checar usando a regra de L'Hospital; A segunda também é nula trivialmente, pois o numerador tende a zero quando t tende a infinito. A última parcela é constante e, por isso, vale ela mesma quando t tende ao infinito. Portanto:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} x.2^{-x} dx = \dfrac{1}{\ell n^22}$