Question

Calcule as integrais duplas abaixo...

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{c)~\dfrac{\pi}{4}~\biggr|~d)~\dfrac{98}{3}~\biggr|~e)~-\dfrac{49}{5}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas integrais, devemos relembrar algumas propriedades sobre integrais imediatas e substituições trigonométricas.

c)  $\displaystyle{\int_1^e\int_0^y\dfrac{1}{x^2+y^2}\,dx\,dy}$, na qual $e$ é o número de Euler.

De acordo com o Teorema fundamental do cálculo, sabemos que $\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\int f(x)\,dx=f(x)$. Este integrando é resultado da derivada da função tangente inversa $\arctan$.

Aplique a propriedade: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x^2+a^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$

$\displaystyle{\int_1^e\dfrac{1}{y}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{y}\right)~\biggr|_0^y\,dy}$

Aplique os limites de integração, pois ainda de acordo com o Teorema fundamental do cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

$\displaystyle{\int_1^e \dfrac{1}{y}\cdot\left(\arctan\left(\dfrac{y}{y}\right)-\arctan\left(\dfrac{0}{y}\right)\right)\a\,dy}$

Calculando as frações, temos

$\displaystyle{\int_1^e \dfrac{1}{y}\cdot(\arctan(1)-\arctan(0))\,dy}$

Sabemos que $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ e $\tan(0) = 0$, logo $\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$ e $\arctan(0)=0$.

$\displaystyle{\int_1^e \dfrac{1}{y}\cdot\left(\dfrac{\pi}{4}-0\right)\,dy}\\\\\\\ \displaystyle{\int_1^e \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{\pi}{4}\,dy}$

Pela propriedade $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$, temos

$\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}\cdot\int_1^e\dfrac{1}{y}\,dy}$

Sabemos que $\dfrac{1}{y}$ é a derivada da função logaritmo natural. Logo:

$\dfrac{\pi}{4}\cdot\ln|x|~\biggr|_1^e$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{\pi}{4}\cdot(\ln e - \ln1)$

Pelas propriedades de logaritmos, temos que $\ln e = 1$ e $\ln1=0$, logo

$\dfrac{\pi}{4}$

d) $\displaystyle{\int_0^4\int_0^y\sqrt{9+y^2}\,dx\,dy}$

A primeira integral diz respeito a x, mas o integrando está em função de y. Tratando isso como uma constante, teremos:

$\displaystyle{\int_0^4\sqrt{9+y^2}\cdot x~\biggr|_0^y\,dx\,dy}$

Aplique os limites

$\displaystyle{\int_0^4\sqrt{9+y^2}\cdot y\,dx\,dy}$

Utilizaremos substituição trigonométrica para resolver esta integral. Considere $y=3\tan\theta$. Logo para encontrar o diferencial $dy$, derivamos ambos os lados, obtendo $dy=3\sec^2\theta$. Lembre-se de calcular os limites, pois agora a integral diz respeito a $\theta$.

Quando $y\rightarrow0,~3\tan\theta\rightarrow 0$, logo $\theta\rightarrow0$. Quando $y\rightarrow4,~3\tan\theta\rightarrow4$, logo $\theta\rightarrow\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)$. Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\arctan\left(\frac{4}{3}\right)}\sqrt{9+(3\tan\theta)^2}\cdot 3\tan\theta\cdot\,3\sec^2\theta d\theta}$

Calcule a potência, lembrando que $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$

$\displaystyle{\int_0^{\arctan\left(\frac{4}{3}\right)}3\sec\theta\cdot 3\tan\theta\cdot\,3\sec^2\theta d\theta}$

Multiplique os valores, mas deixe $\sec^2\theta$ fora do produto.

$\displaystyle{\int_0^{\arctan\left(\frac{4}{3}\right)}27\sec\theta\cdot \tan\theta\cdot\,\sec^2\theta d\theta}$

Faça uma nova substituição $u=\sec\theta$. O diferencial $du$ será $du=\tan\theta\cdot\sec\theta\,d\theta$ Os limites se tornam $u=1$ e  $u=\sec\left(\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)\right)}$.  Perceba que o diferencial $du$ já está presente na integral, veja:

$\displaystyle{\int_1^{\sec\eft(\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)}27\sec^2\theta\cdot\tan\theta\sec\theta\,d\theta}$, logo:

$\displaystyle{\int_1^{\sec\eft(\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)}27u^2\,du}$

Pelas propriedades discutidas anteriormente, temos

$27\cdot\dfrac{u^3}{3}~\biggr|_1^{\sec\left(\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)}\\\\\\ 9\cdot\sec^3\left(\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)\right)-9$

Recorramos novamente a $\sec\theta=\pm\sqrt{1+\tan^2\theta}$. Sabendo que $f(f^{-1}(x))=x$, temos

$\sec\left(\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)\right)=\pm\sqrt{1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}\\\\\\ \sec\left(\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)\right)=\pm\dfrac{5}{3}$

Utilizaremos a solução positiva

$9\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^3-9$

Calcule a potência

$9\cdot\dfrac{125}{27}-9$

Multiplique os valores

$\dfrac{125}{3}-9$

Some as frações

$\dfrac{128-27}{3}\\\\\\ \dfrac{98}{3}$

Acompanhe a solução da última integral em anexo:

770a66f9dea1c00bb36e5826335e7b63.pdf