Question

Calcule as integrais duplas abaixo...

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\dfrac{16}{5}~\biggr|~b)~5}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas integrais duplas, utilizaremos algumas técnicas de integração já conhecidas.

Como podemos ver, estas integrais já tem limites definidos. Resolvamos cada uma separadamente:

a) $\displaystyle{\int_{0}^2\int_{y=0}^{x^2}y\,dy\,dx}$

Para a primeira integral, utilizaremos a propriedade da integral de uma potência, dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}$. Ficaremos com:

$\displaystyle{\int_{y=0}^2\dfrac{y^2}{2}~\biggr|_0^{x^2}\,dx}$

De acordo com o Teorema fundamental do cálculo, devemos aplicar os limites de integração da seguinte forma: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$. Logo:

$\displaystyle{\int_{0}^2\dfrac{(x^2)^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\,dx}$

Calcule as potências

$\displaystyle{\int_{0}^2\dfrac{x^4}{2}\,dx}$

Sabendo que a integral do produto de uma constante por uma função é dada por $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$, temos:

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int_{0}^2x^4\,dx}$

Aplicando a propriedade da potência novamente, teremos

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^{5}}{5}~\biggr|_0^2$

Substitua os limites

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2^{5}}{5}-\dfrac{0^5}{5}\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{32}{5}$

Multiplique os valores

$\dfrac{16}{5}$

Este é o resultado da nossa integral.

b)  $\displaystyle{\int_0^1\int_0^2(x+2)\,dy\,dx}$

Como podemos ver, o integrando da primeira integral não apresenta a variável $y$. Então, podemos tratá-lo como uma constante e aplicar a propriedade discutida anteriormente:

$\displaystyle{\int_0^1(x+2)\int_0^2\,dy\,dx}$

Para calcularmos esta integral, basta apenas considerar o integrando como $y^0$. Aplicando a propriedade da potência, ficaremos com

$\displaystyle{\int_0^1(x+2)\cdot y~\biggr|_0^2\,dx}$

Aplicando os limites de integração, teremos

$\displaystyle{\int_0^1(x+2)\cdot (2-0)\,dx}$

Some e multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^1 2(x+2)\,dx}$

Pela propriedade da constante, teremos

$\displaystyle{2\cdot\int_0^1(x+2)\,dx}$

Lembre-se que a integral de uma soma de funções equivale a soma das integrais. Logo:

$\displaystyle{2\cdot\left(\int_0^1x\,dx+\int_0^12\,dx\right)}$

Aplicando as propriedades da potência discutidas acima, teremos

$\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^1+2x~\biggr|_0^1\right)}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}+2\cdot(1-0)\right)}$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{2\cdot\left(\dfrac{1}{2}+2\cdot1\right)}\\\\\\ 2\cdot\dfrac{5}{2}\\\\\\ 5$

Este é o resultado da nossa integral.

Answer 2

a)

$\displaystyle\sf{\int_{0}^{2}\int_{y=0}^{x^2}y~dy~dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}y^2\Bigg|_{0}^{x^2}~dx}\\\displaystyle\sf{\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}(x^4-0^2)~dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}~x^4~dx}\\\sf{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}~x^5\Bigg|_{0}^{2}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!2}\cdot\dfrac{1}{5}~\diagup\!\!\!\!2^5}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\rm{\dfrac{16}{5}}}}}}$

$\displaystyle\sf{2\cdot x\Bigg|_{0}^{2}=2\cdot(2-0)=4}$

b)

$\displaystyle\sf{\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}(x+2)~dy~dx=\int_{0}^{1}(x+2)y\Bigg|_{0}^{2}~dx}$    

$\displaystyle\sf{2\cdot\int_{0}^{1}(x+2)~dx=x^2+4x\Bigg|_{0}^{1}}\\\sf{1^2+4\cdot1=1+4=5}$