Question

Calcule as integrais definidas abaixo.

$\int\limits^{32} _ 1 {x}^{-6/5} \, dx$


Gabarito:

b) 5/2

Answer 1

A integral definida vale:

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{1}^{32} x^{-\frac{6}{5}}\,dx = \frac{5}{2}\end{gathered} }$

Para fazer a integral de um monômio, temos que aplicar a integral imediata:

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + K, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Como temos uma integral definida, temos então que:

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{b}^{a} x^n\,dx = \left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_{b}^{a}, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Lembrando que não precisamos da constante na integral definida, pois:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{b}^{a} f(x)\,dx = \left(F(x)+K\right)\bigg|_{a}^{b}\\ \\\left(F(a) + K\right) - \left(F(b) + K\right)\\ \\F(a) - F(b) + K - K\\ \\F(a) - F(b)\\ \\\end{gathered}$

Onde F(x) é a primitiva de f(x).

Então só precisamos achar a primitiva do monômio, sendo assim:

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{1}^{32} x^{-\frac{6}{5}}\,dx = \left.\frac{x^{-\frac{6}{5}+1}}{-\frac{6}{5}+1}\right|_{1}^{32}\\ \\ \left.\frac{x^{-\frac{1}{5}}}{-\frac{1}{5}}\right|_{1}^{32} = \left.-\frac{5x^{-\frac{1}{5}}}{1}\right|_{1}^{32}\\ \\-\frac{5}{\sqrt[5]{x}}\bigg|_{1}^{32} = \frac{5}{\sqrt[5]{1}}-\frac{5}{\sqrt[5]{32}}\\ \\5-\frac{5}{2} = \frac{5}{2}\end{gathered} }$

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                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int_{1}^{32} x^{-\frac{6}{5}}\,dx = \frac{5}{2}\end{gathered} }$

Lembrando que a primitiva da função f é:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^{-\frac{6}{5}}\,dx = -\frac{5}{\sqrt[5]{x}}+K = -5x^{-\frac{1}{5}} +K\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja a área calculada em anexo.

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