Question

Calcule as integrais abaixo.
$\int\limits^a_b {x} (x^{2} +1)^{2013} \, dx$

Gabarito:
a) $a) =\frac{(x^{2} + 1)^{2014} }{4028} +K$

Answer 1

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Queremos calcular a integral abaixo:

$\mathbb{I}=\displaystyle \int x(x^2+1)^{2013}\,dx$

Vou usar a técnica da integração por substituição.

Escolha um termo do integrando que, ao derivar, esteja no próprio integrando.

Podemos ver que a melhor escolha é:

$u=x^2+1$ , pois

$\dfrac{du}{dx}=2x\rightarrow\dfrac{du}{2}=x\,dx$

Substituindo na integral original, obtemos:

$\mathbb{I}=\displaystyle \dfrac{1}{2} \int u^{2013}\,du=$

$=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{u^{2014}}{2014}+K$

Agora podemos voltar à variável de integração original:

$\mathbb{I}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(x^2+1)^{2014}}{2014}+K$

$\therefore \boxed{\mathbb{I}=\dfrac{(x^2+1)^{2014}}{4028}+K}$

Bons estudos!

Equipe Brainly