Question

Calcule as expressões a seguir:

Answer 1

Usando Produtos Notáveis, obtém-se:

a) 4x²+2x+1/4

b) 16a² - 4a +1/4

c)  x²/4  - 1

d) x² - 2 + 1/x^2

e) x^2y^2 - (xy)/5 + 1/100

Nestes exercícios vai se treinar três Produtos Notáveis.

• quadrado de uma soma
• quadrado de uma diferença
• produto da soma pela diferença

Quadrado de uma soma ( desenvolvimento )

• o quadrado do primeiro termo

mais

• o dobro do produto de primeiro pelo segundo termos

mais

• o quadrado do segundo termo

Exemplo geral:

$(a+b)^2~=~a^2+2\cdot a\cdot b+b^2~=~a^2+2ab+b^2$

Quadrado de uma diferença ( desenvolvimento )

• o quadrado do primeiro termo

menos

• o dobro do produto de primeiro pelo segundo termos

mais

• o quadrado do segundo termo

Exemplo geral:

$(a-b)^2~=~a^2-2\cdot a\cdot b+b^2~=~a^2-2ab+b^2$

Produto da soma pela diferença   ( desenvolvimento )

• quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

Exemplo:

$(a+b)\cdot(a-b)~=~a^2-b^2$

Observação geral → Em qualquer destes casos tem de se saber passar do fim para o princípio, pois muitas vezes é esse o raciocínio a fazer.

Se tem, por exemplo:

$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)$

E o mesmo para os outros produtos notáveis.

a)

$(2x+\dfrac{1}{2})^2 =(2x)^2+2\cdot 2x \cdot \dfrac{1}{2}+(\dfrac{1}{2})^2\\~\\= 2^2\cdot x^2+\dfrac{4x}{2} +\dfrac{1^2}{2^2} \\~\\=4x^2+2x+\dfrac{1}{4}$

b)

$(4a-\dfrac{1}{2})^2 =(4a)^2-2\cdot 4a \cdot \dfrac{1}{2} +(\dfrac{1}{2} )^2\\~\\=4^2\cdot a^2-\dfrac{8a}{2} +\dfrac{1^2}{2^2} \\~\\=16a^2-4a+\dfrac{1}{4}$

c)

$(\dfrac{x}{2}+1)\cdot (\dfrac{x}{2}-1)~=~(\dfrac{x}{2} )^2-1^2\\~\\=\dfrac{x^2}{2^2} -1\\~\\=\dfrac{x^2}{4} -1$

d)

$(x-\dfrac{1}{x})^2~=~x^2-2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x} +(\dfrac{1}{x} )^2\\~\\=x^2-\dfrac{2x}{x} +\dfrac{1^2}{x^2} \\~\\=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}$

Observação → a simplificação

$\dfrac{2x}{x} =2$

só possível se $x\neq 0$

e)

$(xy-\dfrac{1}{10})^2 ~=~(x\cdot y)^2-2\cdot xy \cdot\dfrac{1}{10} +(\dfrac{1}{10} )^2\\~\\\\=x^2y^2-\dfrac{2xy\cdot1}{10} +\dfrac{1^2}{10^2} \\~\\\\=x^2y^2-\dfrac{xy}{5} +\dfrac{1}{100}$

Observação → Quadrado de um produto

É igual ao primeiro fator ao quadrado a multiplicar pelo segundo fator ao

quadrado.

Exemplo:

$(x\cdot y)^2~=~x^2\cdot y^2 =x^2 y^2$

Observação → Produto de valores com e sem fração

Transforma-se todos os fatores em fração.

Multiplicam-se os numeradores.

Multiplicam-se os denominadores.

Exemplo:

$2\cdot xy \cdot \dfrac{1}{10} ~=~\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{xy}{1} \cdot\dfrac{1}{10} =\dfrac{2\cdot xy \cdot1}{1\cdot1 \cdot10} =\dfrac{2xy}{10}=\dfrac{2xy\div2}{10\div2}\\~\\=~\dfrac{xy}{5}$

Observação → Quadrado de um fração

O numerador ao quadrado.

O denominador ao quadrado.

Exemplo:

$(\dfrac{1}{x})^2 =\dfrac{1^2}{x^2} =\dfrac{1}{x^2}$

Saber mais sobre produtos notáveis, com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/27906547?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/49001623?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/29941076?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

------

$(\cdot)$ multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.