Question

Calcule as equações diferenciais e calcule o limite das soluções quando x → ∞
quando y é mantido como constante.
(a) 2xy − 9x^2 + (2y + x^2 + 1)dy/dx = 0, y(0) = 3.
(b) 3y^3e^3xy − 1 + (2ye^3xy + 3xy^2e^3xy)y'0 = 0, y(0) = 1.

Answer 1

Olá, siga a explicação:

1° Questão:

$\boxed {\boxed { \boxed { \left \{ {{2xy-9x^2 +(2y+x^2+1 ) \dfrac{dy}{dx} =0 } \atop {y(0)=3}} \right. } }}$

Sendo:

$M(x,y) + N(x+y) y'=0$

Existente a:

$\boxed {\Psi (x,y) \: \: tal \:\: que \:\: \Psi _x (x,y) = M(x,y) , \:\:\: \Psi y (x,y) = N(x,y)}$

$\Psi (x,y) \:\: possui \:\: derivadas \:\: parciais \:\: continuas : \\ \\ \dfrac{\partial M (x,y) }{\partial y} = \dfrac{\partial ^2 \Psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial ^2 \Psi (x,y)}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial N (x,y)}{\partial x}$

Substituindo:

$\dfrac{dy}{dx} = y'$

Se as condições são cumpridas, então:

$\Psi _x+\Psi _y\cdot \:y'=\dfrac{d\Psi \left(x,\:y\right)}{dx}=0$

Solução geral:

$\Psi \left(x,\:y\right)=C$

Temos de:

$\dfrac{\partial M (x,y) }{\partial y} = \dfrac{\partial N(x,y) }{\partial y } : \: \: Verdadeiro$

Aplicando condições inicias relações de cálculos, isolando termos, resposta final:

$y=\dfrac{-1-x^2+\sqrt{x^4+12x^3+2x^2+49}}{2}$

• Att. MatiasHP