Question

calcule as equaçoes das retas tangente e normal ao gráfico f(x)=e³x(x²+3) no ponto x=0

Answer 1

$f(x)=e^{3x}(x^2+3)$

a reta tangente passa pelo ponto xo=0
encontrando o yo
$y_0=f(x_0)=f(0)=e^{3*0}(0^2+3) = 3$

reta passara pelos pontos P(0,3) ..xo=0 , yo=3
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derivando a função para encontrar o coeficiente angular
usando a regra do produto

$\bmatrix U = e^{3x}\\\\U' = e^{3x}*(3*1) = 3e^{3x}\end$

$\bmatrix V=x^2+3\\\\V'=2x+0 = 2x \end$

pela regra do produto
$f'(x) = U'*V+U*V'\\\\\boxed{f'(x)= 3e^{3x}(x^2+3)+3^{3x}*2x}$

o coeficiente angular da reta sera a derivada calculada no ponto xo
$m = f'(0)= 3e^{3*0}(0^2+3)+3^{3*0}*2*0\\\\m=3*1*(0+3) +1*0\\\\m=9$

agora ja temos tudo para montar a equação da reta
xo = 0 
yo = 3
m = 9 

reta tangente
$y=m(x-x_0)+y_0\\\\y=9(x-0)+3\\\\T:\; y=9x+3$

reta normal
o coeficiente angular da reta normal é -1/m

$y= \frac{-1}{m} (x-x_0)+y_0\\\\y= \frac{-1}{9}(x-0) +3\\\\y= \frac{-x}{9}+3\\\\ N:\; y= \frac{-x+27}{9}$