Question

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=sen(x^2+y^2)ln(xy)

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)*ln(xy)]}{\partial x}=2xln(xy)cos(x^2+y^2)+\dfrac{sen(x^2+y^2)}{x}$

$\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)*ln(xy)]}{\partial y}=2yln(xy)cos(x^2+y^2)+\dfrac{sen(x^2+y^2)}{y}$

Explicação passo-a-passo:

Boa noite, as derivadas parciais com duas incógnitas nos dão duas respostas, cada equação é uma derivada onde vamos usar uma das incógnitas como variável e outra como constante.

Temos a função $f(x,y)=sen(x^2+y^2)*ln(xy)$

Vamos primeiro derivar parcialmente o x, considerando o y como constante:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=[sen(x^2+y^2)*ln(xy)]'$

Vamos usar alguns conceitos de derivadas aqui...

1. Regra do produto: $(f*g)'=f'*g+f*g'$    
2. Regra da cadeia: $[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)$  

Vamos derivar então, primeiro aplicando a regra do produto, que também vai ser usada na derivada parcial para y :.

$[sen(x^2+y^2)*ln(xy)]'=[sen(x^2+y^2)]'*ln(xy)+sen(x^2+y^2)*[ln(xy)]'$

Vamos por partes... primeiro $\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)]}{\partial x}$ :

Temos que aplicar a regra da cadeia aqui:

$\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)]}{\partial x}=\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)]}{\partial x}*\dfrac{\partial [x^2+y^2]}{\partial x}$

$cos(x^2+y^2)*2x$

MANO, prestenção: ta vendo que o $y^2$ sumiu??? Isso porque tem um $x^0$ "implícito" ali, e sabe né? Cê deriva e aí desce o zero e zera tudo, então vamos continuar mano. Lembrando ainda que essa primeira resposta ta multiplicada por ln(xy). Então:

$\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)]}{\partial x}*ln(xy)=2xln(xy)cos(x^2+y^2)$

Agora bora resolver a segunda parte da parcial de x, ainda usando a regra da cadeia:

$sen(x^2+y^2)*\dfrac{\partial [ln(xy)]}{\partial x}=sen(x^2+y^2)*\dfrac{\partial [ln(xy)]}{\partial x}*\dfrac{\partial [xy]}{\partial x}$

$sen(x^2+y^2)*\dfrac{1}{xy}*y$ , vê que tamos multiplicando e divindo y? Só cortar.

$sen(x^2+y^2)*\dfrac{\partial [ln(xy)]}{\partial x}=\dfrac{sen(x^2+y^2)}{x}$

Somando essas respostas temos a resposta da derivada parcial de x:

$\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)*ln(xy)]}{\partial x}=2xln(xy)cos(x^2+y^2)+\dfrac{sen(x^2+y^2)}{x}$

Tendo entendido, vou dar aquela agilizada pra derivada parcial de y, mas mesmo conceito:.

$\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)*ln(xy)]}{\partial y}=ln(xy)\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)]}{\partial y}+sen(x^2+y^2)\dfrac{\partial [ln(xy)]}{\partial y}$

$ln(xy)\dfrac{\partial [sen(x^2+y^2)]}{\partial y}\dfrac{\partial [x^2+y^2]}{\partial y}+sen(x^2+y^2)\dfrac{\partial [ln(xy)]}{\partial y}\dfrac{\partial [xy]}{\partial y}$

$2yln(xy)cos(x^2+y^2)+\dfrac{sen(x^2+y^2)}{y}$

Espero ter ajudado! Qualquer dúvida só perguntar :)