Question

Calcule as derivadas parciais das funções dadas, em relação a x e y.

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Calcular as derivadas parciais em relação a x e y, na função dada:

$\sf{z=\dfrac{x^2cos(y)}{ye^x-1}}$

Vamos iniciar calculando a derivada parcial da função em relação a variável x. Para tanto, admitimos a variável y como sendo constante, como segue abaixo:

$\sf{z=\dfrac{x^2cos(y)}{ye^x-1}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x^2cos(y)}{ye^x-1}\right)=cos(y) \cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x^2}{ye^x-1}\right)}~\mapsto~\sf{Aplicar~a~regra~do~quociente:}\\ \\ \\ \sf{=cos(y)\cdot \dfrac{\frac{\partial}{\partial x}(x^2)(ye^x-1)-\frac{\partial}{\partial x}(ye^x-1)(x^2)}{(ye^x-1)^2}}\\ \\ \\ =\sf{cos(y)\cdot \dfrac{2x(ye^x-1)-ye^xx^2}{(ye^x-1)^2}}\\ \\ \\ =\sf{\dfrac{cos(y)(2x(ye^x-1)-ye^xx^2)}{(ye^x-1)^2}}$

Agora calcularemos a derivada parcial da função em relação a variável y. Para tanto, admitimos a variável x como sendo constante, como segue abaixo:

$\sf{z=\dfrac{x^2cos(y)}{ye^x-1}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{x^2cos(y)}{ye^x-1}\right)=x^2 \cdot \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{cos(y)}{ye^x-1}\right)}~\mapsto~\sf{Aplicar~a~regra~do~quociente:}\\ \\ \\ \sf{=x^2\cdot \dfrac{\frac{\partial}{\partial y}(cos(y))(ye^x-1)-\frac{\partial}{\partial y}(ye^x-1)cos(y)}{(ye^x-1)^2}}\\ \\ \\ =\sf{x^2\cdot \dfrac{(-sin(y))(ye^x-1)-e^xcos(y)}{(ye^x-1)^2}}\\ \\ \\ =\sf{\dfrac{x^2(-sin(y)(ye^x-1)-e^xcos(y))}{(ye^x-1)^2}}$

Espero que te ajude!

Bons estudos!