Question

Calcule as derivadas de primeira ordem e as derivadas de segunda ordem de :
a) $f(x,y) = \frac{1}{x+y}$

b) $f(x,y) = sen^{2} (x - 3y)$

Answer 1

A) $\text{f(x,y)} = (x+y)^{-1}$

Só escrevi assim pra facilitar a derivada.

Derivada de 1ª ordem em relação a x :

$\text{f'(x,y)} = -1.(x+y)^{-2}.(x+y)'$

$\huge\boxed{\displaystyle \text{f'(x,y)} = - \frac{(1+y')}{(x+y)^{2}} }$

Derivada de 2ª ordem em relação a x :

Obs : usando a regra do quociente.

$\displaystyle \text{f''(x,y)} = - \frac{(1+y')'.(x+y)^2-(1+y').[(x+y)^{2}]' }{[(x+y)^{2}]^2}$

$\displaystyle \text{f''(x,y)} = - \frac{y''.(x+y)^2-2(1+y').(x+y).(1+y') }{(x+y)^{4}}$

$\displaystyle \text{f''(x,y)} = - \frac{(x+y)[y''.(x+y)-2(1+y').(1+y')] }{(x+y)^{4}}$

simplificando (x+y) do numerador com o do denominador :

$\huge\boxed{\displaystyle \text{f''(x,y)} = - \frac{y''.(x+y)-2(1+y')^2}{(x+y)^{3}} }$

Obs : o sinal de menos ali no início muda o sinal de toda a fração. cuidado para não esquecer.

B) $\text{f(x,y)} = sen^2(x-3y)$

Derivada de 1ª ordem em relação a x :

$\text{f'(x,y)} = 2.sen(x-3y).Cos(x-3y).(x-3y)'$

$\text{f'(x,y)} = 2.sen(x-3y).Cos(x-3y). (1-3y')$

lembrando que : $\boxed{2Sen(k).Cos(k) = sen(2k) }$, logo :

$\text{f'(x,y)} = Sen[2(x-3y)] . (1-3y')$

$\huge{\boxed{\boxed{\text{f'(x,y)} = Sen(2x-6y) . (1-3y') }}$

Derivada de 2ª ordem em relação a x :

(Usando a regra do produto)

$\text{f''(x,y)} = [Sen(2x-6y)]' . (1-3y') + Sen(2x-6y)(1-3y')'$

$\text{f''(x,y)} = Cos(2x-6y).(2x-6y)'. (1-3y') + Sen(2x-6y)(-3y'')$

$\boxed{f''(x,y) = 2.Cos(2x-6y).(1-3y')^2 - 3.y''. Sen(2x-6y) }$