Question

calcule as derivadas das funções:
f(x)= cos3x²
g(x)= cos²3x
y= sec raiz(x-1)
y= arcsen raiz(x)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para derivarmos estas funções, devemos nos relembrar de algumas técnicas de derivação.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

a)  $f(x)=\cos(3x^2)$

Calcule a derivada em ambos os lados

$f'(x)=(\cos(3x^2))'$

Aplique a regra da cadeia

$f'(x)=(3x^2)'\cdot(-\sin(3x^2))$

Calcule a derivada da potência e multiplique os valores

$f'(x)=-6x\sin(3x^2)$

b) $g(x)=\cos^2(3x)$

Derivamos ambos os lados

$g'(x)=(\cos^2(3x))'$

Aplique a regra da cadeia

$g'(x)=(3x)'\cdot 2\cdot -\sin(3x)\cdot \cos(3x)$

Calcule a derivada da potência e multiplique os valores

$g'(x)= -6\sin(3x)\cos(3x)$

Utilizando a fórmula da soma de arcos, podemos reescrever:

$g'(x)= -3\sin(6x)$.

c)  $y=\sec(\sqrt{x-1})$

Derivamos ambos os lados

$y'=(\sec(\sqrt{x-1}))'$

Reescreva a função secante como o inverso da função cosseno

$y'=\left(\dfrac{1}{\cos(\sqrt{x-1})}\right)'$

Aplique a regra do quociente

$y'=\dfrac{1'\cdot\cos(\sqrt{x-1})-(\cos(\sqrt{x-1}))'\cdot 1 }{\cos^2(\sqrt{x-1})}$

Calcule as derivadas

$y'=\dfrac{0-(\sqrt{x-1})'\cdot(-\sin(\sqrt{x-1}))\cdot 1 }{\cos^2(\sqrt{x-1})}$

Reescrevendo $\sqrt{x-1}=(x-1)^{\frac{1}{2}}$, calcule a derivada pela regra da cadeia e da potência

$y'=\dfrac{-(x-1)'\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot(-\sin(\sqrt{x-1}))\cdot 1 }{\cos^2(\sqrt{x-1})}$

Calcule a derivada da soma e multiplique os valores

$y'=\dfrac{\dfrac{\sin(\sqrt{x-1})}{2\sqrt{x-1}}}{\cos^2(\sqrt{x-1})}$

Calcule a fração de frações

$y'=\dfrac{\sin(\sqrt{x-1})}{2\sqrt{x-1}\cdot\cos^2(\sqrt{x-1})}$

Podemos transformar esta expressão em:

$y'=\dfrac{\sec(\sqrt{x-1})\cdot\tan(\sqrt{x-1})}{2\sqrt{x-1}}$

d)  $y=\arcsin(\sqrt{x})$

Sabendo que a função arco-seno é o inverso da função seno, fazemos:

$\sin(y)=\sqrt{x}$

Calculamos as derivadas em ambos os lados

$\cos(y)\cdot y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Isole $y'$

$y'=\dfrac{1}{2\cos(y)\sqrt{x}}$

Sabendo que $\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}$, temos

$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(\sqrt{x})}\cdot\sqrt{x}}$

Sabendo que $f(f^{-1}(x))=x$, temos

$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}\cdot\sqrt{x}}$

Calcule a potência

$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{x}}$

Multiplique os valores

$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$