Question

Calcule as 7 integrais descritas na imagem:


GENTE PRECISO DAS RESOLUÇÕES DESSAS INTEGRAIS
ALGUÉM PODE ME AJUDAR ?

Answer 1

Vamos integrar, o restante das operações do cálculo de área ficam por sua conta.

a)

$\displaystyle \int e^{x}\sin(e^{x}) \, dx \\ \\ \\ u=e^{x} \\ \\ du=e^{x} \, dx \\ \\ \\ \frac{e^{x}}{e^{x}} \int \sin(u) \, du \\ \\ \\ -\cos(u)+c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{-\cos(e^{x})+c}}$

b)

Desenvolvendo tudo que está elevado a 2, obtemos:

$\displaystyle \int \sin^2(2x)+2\sin(2x)\cos(2x)+\cos^2(2x) \, dx$

Considerando as identidades trigonométricas conhecidas:

$\displaystyle 2\sin(2x)\cos(2x)=\sin(4x) \\ \\ \\ \sin^2(2x) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(4x) \\ \\ \\ \cos^2(2x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4x)$

Obtemos:

$\displaystyle \int \sin^2(2x)+2\sin(2x)\cos(2x)+\cos^2(2x) \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(4x)+\sin(4x)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4x) \, dx \\ \\ \\ \int 1+\sin(4x) \, dx \\ \\ \\ \boxed{\boxed{x-\frac{1}{4}\cos(4x)+c}}$

c)

$\displaystyle \int \cos(\frac{4}{3}x) \, dx \\ \\ \\ u=\frac{4}{3}x \\ \\ \\ du=\frac{4}{3} \, dx \\ \\ \\ dx=\frac{3}{4} \, du \\ \\ \\ \frac{3}{4} \int \cos(u) \, du \\ \\ \\ \frac{3}{4}\sin(u)+c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{3}{4}\sin(\frac{4}{3}x)+c}}$

d)

$\displaystyle \int \sin^5(x)\cos^3(x) \, dx \\ \\ \\ \int \sin^5(x)\cos^2(x)\cos(x) \, dx$

Considerando a identidade:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \\ \\ \cos^2(x)=1-\sin^2(x)$

Temos:

$\displaystyle \int \sin^5(x)\cos^2(x)\cos(x) \, dx \\ \\ \\ \int \sin^5(x) \cdot (1-\sin^2(x))\cdot \cos(x) \, dx \\ \\ \\ \int \sin^5(x) - \sin^7(x)\cos(x) \, dx \\ \\ \\ u=\sin(x) \\ \\ du=\cos(x) \, dx \\ \\ \\ \int u^5-u^7 \, du \\ \\ \\ \frac{1}{6}u^6-\frac{1}{8}u^8+c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{1}{6}\sin^6(x)-\frac{1}{8}\sin^8(x)+c}}$

e)

$\displaystyle \int \sin^4(3t) \, dt \\ \\ \\ \int \sin^2(3t)\sin^2(3t) \, dt$

Utilizando da identidade:

$\displaystyle \sin^2(3t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(6t)$

Obtemos:

$\displaystyle \int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(6t))^2 \, dt$

Desenvolvendo obtemos:

$\displaystyle \int \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos(6t)+\frac{1}{4}\cos^2(6t) \, dt$

Utilizando a identidade:

$\displaystyle \cos^2(6t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(12t)$

Temos:

$\displaystyle \int \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos(6t)+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cos(12t) \, dt \\ \\ \\ \int \frac{3}{8}+\frac{1}{8}\cos(12t)-\frac{1}{2}\cos(6t) \, dt \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{3}{8}t+\frac{1}{96}\sin(12t)-\frac{1}{12}\sin(6t)+c}}$

f)

$\displaystyle \int \sin(x)\cos(x) \, dx \\ \\ \\ u=\sin(x) \\ \\ du=\cos(x) \, dx \\ \\ \\ \int u \, du \\ \\ \\ \frac{1}{2}u^2+c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{1}{2}\sin^2(x)+c}}$

g)

$\displaystyle \int \sin(x)\cos^2(x) \, dx \\ \\ \\ \int \cos^2(x)\sin(x) \, dx \\ \\ \\u=\cos(x) \\ \\ du=-\sin(x) \, dx \\ \\ \\ \int -u^2 \, du \\ \\ \\ -\frac{1}{3}u^3+c \\ \\ \\ \boxed{\boxed{-\frac{1}{3}\cos^3(x)+c}}$