Question

Calcule área da região delimitada pelas parábolas
$y = x ^{2} - 4 \\ y = - x ^{2} - 2x$
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{9~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar como calcular a área delimitada entre duas curvas.

Queremos encontrar a área delimitada entre as parábolas $y=x^2-4$ e $y=-x^2-2x$.

Antes, devemos encontrar os pontos de intersecção destas curvas, o que nos definirá qual o intervalo no qual integraremos a área entre elas.

Igualando as funções, temos:

$x^2-4=-x^2-2x$

Trazemos os termos à direita da equação para a esquerda, alterando seu sinal, a fim de igualá-la a zero.

$2x^2+2x-4=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, teremos:

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot2\cdot(-4)}}{2\cdot 2}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+32}}{4}$

Some os valores

$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{36}}{4}$

Calcule a raiz

$x=\dfrac{-2\pm6}{4}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-2-6}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{-2+6}{4}$

Some os valores

$x=\dfrac{-8}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{4}{4}$

Simplifique as frações

$x=-2~~~\mathtt{ou}~~~x=1$

Logo, integraremos a área delimitada por estas curvas no intervalo $[-2,~1]$.

Observe o gráfico em anexo: Devemos analisar o comportamento das funções neste intervalo. Para que integremos estas funções, devemos calcular a integral:

$\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$, tal que $f(x)\geq g(x)$ em todo o intervalo.

Dessa forma, vemos que em nosso caso, $f(x)=-x^2-2x$ e $g(x)=x^2-4$.

Teremos então:

$\displaystyle{\int_{-2}^1 -x^2-2x-(x^2-4)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva

$\displaystyle{\int_{-2}^1 -x^2-2x-x^2+4\,dx}$

Reduza os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-2}^1 -2x^2-2x+4\,dx}$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções, ou seja: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}$.

Dessa forma, aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-2}^1 -2x^2\,dx-\int_{-2}^1 2x\,dx +\int_{-2}^14\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-2\int_{-2}^1 x^2\,dx-2\int_{-2}^1 x\,dx +4\int_{-2}^1\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{-2\cdot\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-2}^1-2\cdot\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_{-2}^1 +4\cdot x~\biggr|_{-2}^1$

Lembre-se que, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$. Teremos:

$-2\cdot\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-2}^1- x^2~\biggr|_{-2}^1 +4\cdot x~\biggr|_{-2}^1\\\\\\\\\ \ -2\cdot\dfrac{1^3}{3}-1^2+4\cdot 1 -\left(-2\cdot\dfrac{(-2)^3}{3}-(-2)^2+4\cdot (-2)\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$-\dfrac{2}{3}-1+4 -\left(\dfrac{16}{3}-4-8\right)$

Efetue a propriedade distributiva

$-\dfrac{2}{3}-1+4 -\dfrac{16}{3}+4+8$

Some os valores

$9$

Esta é a área delimitada por estas duas curvas.