Question

Calcule aproximadamente o período de rotação de um satélite artificial da Terra cujo raio da órbita é 2 vezes menor que o rádio da órbita da Lua. Considere que o período de rotação da Lua ao redor da Terra é igual a 28 dias.

Answer 1

Considerando que T é o período de rotação e que R é o raio da órbita do planeta, a terceira Lei de Kepler nos diz que:

$\dfrac{T^2}{R^3}=k$

Isto é, a razão entre o quadrado de T e o cubo de R é constante. Assim:

$\dfrac{T_{sat\'elite}^2}{R_{sat\'elite}^3}=\dfrac{T_{Lua}^2}{R_{Lua}^3}$

O raio da órbita do satélite é duas vezes menor que o da Lua, então: $R_{sat\'elite}=\dfrac{R_{Lua}}{2}$. Além disso, o período de rotação da Lua em torno da Terra é $T_{Lua}=28~dias$. Substituindo esses dados na relação que vimos anteriormente:

$\dfrac{T_{sat\'elite}^2}{\left(\dfrac{R_{Lua}}{2}\right)^3}=\dfrac{28^2}{R_{Lua}^3}\\\\ \dfrac{T_{sat\'elite}^2}{\dfrac{R_{Lua}^3}{2^3}}=\dfrac{28^2}{R_{Lua}^3}\\\\ \dfrac{T_{sat\'elite}^2}{\dfrac{R_{Lua}^3}{8}}=\dfrac{28^2}{R_{Lua}^3}\\\\ \dfrac{8T_{sat\'elite}^2}{R_{Lua}^3}=\dfrac{28^2}{R_{Lua}^3}\\\\ 8T_{sat\'elite}^2=28^2\\\\ 8T_{sat\'elite}^2=784\\\\ T_{sat\'elite}^2=\dfrac{784}{8}\\\\ T_{sat\'elite}^2=98\\\\ T_{sat\'elite}=\sqrt{98}\approx9,899\\\\ \boxed{T_{sat\'elite}\approx10~dias}$

Answer 2

Resposta:

Explicação:

Lembre da terceira lei de Kepler :

''O quociente dos quadrados dos períodos T e o cubo de suas distâncias a médias do sol é igual a uma constante k.''

.

Da lei de Kepler:

Queremos encontrar o período T_s(satélite). Denote por T_{lua}, a_{Lua}, a_s(satélite).

T_s^2=784.(1/8)

Teremos,

A resposta é 10 dias.

Bons estudos.