Question

Calcule algebricamente o limite

    $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^a-x^a}{h}$

       lim    [(x + h)^a − x^a]/h
     h → 0

com  a ∈ ℝ.

Favor não aplicar as regras de L'Hospital nem usar o conceito pronto de derivada.

Answer 1

Queremos calcular algebricamente o seguinte limite:

$L=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+h)^a-x^a}{h}$

Como o limite é em relação a h, vamos tentar "remover" a variável x, a fim de simplificá-lo. Para isso, vamos inicialmente calcular o limite para $x=0$:

$L(x=0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(0+h)^a-0^a}{h}\\\\ L(x=0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{h^a}{h}=\lim\limits_{h\to0}h^{a-1}\\\\ L(x=0)=0$

Agora, vamos desenvolver o limite considerando $x\neq0$:

$L=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+h)^a-x^a}{h}\\\\ L=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{x^a\left[\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^a-1\right]}{h}\\\\ L=x^a\cdot \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^a-1}{h}$

Vamos fazer a substituição: $y=\dfrac{h}{x}\Longrightarrow h=xy$. Repare que $y\to 0$ quando $h\to0$:

$L=x^a\cdot \lim\limits_{y\to0}\dfrac{(1+y)^a-1}{xy}\\\\ L=x^{a-1}\cdot \lim\limits_{y\to0}\dfrac{(1+y)^a-1}{y}$

Para resolvermos o limite acima, vamos fazer uma nova troca de variáveis, qual seja:

$(1+y)^a=e^u\Longrightarrow u=a\ln(1+y)\\\\ 1+y=e^{u/a}~~~~(a\neq0)\\\\ y=e^{u/a}-1$

Então, $u\to 0$ quando $y\to0$. Vamos analisar o caso $a=0$ antes de substituir:

$L=x^{0-1}\cdot \lim\limits_{y\to0}\dfrac{(1+y)^0-1}{y}\\\\ L=x^{0-1}\cdot \lim\limits_{y\to0}\dfrac{1-1}{y}\\\\ L=0$

Agora, substituindo:

$L=x^{a-1}\cdot \lim\limits_{y\to0}\dfrac{(1+y)^a-1}{y}\\\\ L=x^{a-1}\cdot \lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{e^{u/a}-1}\\\\ L=x^{a-1}\cdot \lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}\cdot\dfrac{u}{e^{u/a}-1}$

Podemos aplicar o limite fundamental: $\lim_{t\to0}\dfrac{a^t-1}{t}=\ln a$ na primeira fração. Na segunda, vamos fazer uma nova substituição:

$u/a=v\Longrightarrow u=av$

E, desse modo, poderemos aplicar o mesmo limite fundamental. Quando $u\to0$, temos $v\to0$, como segue:

$L=x^{a-1}\cdot \lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}\cdot\dfrac{u}{e^{u/a}-1}\\\\ L=x^{a-1}\cdot \lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}\cdot \lim\limits_{v\to0}\dfrac{av}{e^{v}-1}\\\\ L=ax^{a-1}\cdot \lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}\cdot \lim\limits_{v\to0}\left(\dfrac{e^{v}-1}{v}\right)^{-1}\\\\ L=ax^{a-1}\cdot \ln e\cdot\ln e\\\\ L=ax^{a-1}$

Veja que os limites quando $x=0$ e $a=0$ também se encaixam nessa solução. Portanto, $\forall a\in\mathbb{R}$, temos:

$\boxed{\lim\limits_{h\to0}\dfrac{(x+h)^a-x^a}{h}=ax^{a-1}}$