Question

Calcule abaixo, utilizando o conceito de derivada direcional no ponto e direção indicadas a seguir:

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}}$

Explicação passo-a-passo:

Para melhor visualização da resposta utilize o navegador.

• Essa tarefa é sobre derivada direcional.

• A derivada direcional é um campo escalar que mede a taxa de variação de uma função com respeito a uma determinada direção, dada por um vetor unitário.

Sem mais enrolação, vamos a solução!

Solução:

1. Calcule o gradiente da função f(x,y):

$\vec{\nabla}\mathsf{f(x,y)}=\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\hat x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\,\hat y}\\\\\vec{\nabla}\mathsf{f(x,y)}=\mathsf{-2x\,\hat x-2y\,\hat y}$

2. Avalie o gradiente de f no ponto P(1, 1):

$\vec{\nabla}\mathsf{f(1,1)}=\mathsf{-2\,\hat x-2\,\hat y}$

3. O vetor tangente à curva C é dado pela derivada:

$\vec{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)=(1, 2t)}$

4. Determine o módulo do vetor tangente:

$|\vec{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)|=\mathsf{\sqrt{1^2+(2t)^2}}}\\\\\therefore |\vec{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)|=\mathsf{\sqrt{1+4t^2}}}$

5. O vetor tangente unitário à curva C é, portanto:

$\hat{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)}=\dfrac{\vec{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)}}{|\vec{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)|}}$

$\hat{\mathsf{r}'}\mathsf{(t)}=\bigg(\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{1+4t^2}},\dfrac{2t}{\sqrt{1+4t^2}}}\bigg)$

6. Avalie o vetor tangente unitário no ponto P(1, 1):

$\hat{\mathsf{r}'}\mathsf{(1)}=\bigg(\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}}\bigg)$

7. Determine a derivada direcional a partir da definição:

$\mathsf{D_{\hat r}f(1,1)}=\vec{\nabla}\mathsf{f(1,1)\cdot \hat r}\\\\\mathsf{D_{\hat r}f(1,1)}=\mathsf{(-2,-2)\cdot\bigg(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\bigg)}\\\\\mathsf{D_{\hat r}f(1,1)}=\mathsf{-\dfrac{2}{\sqrt{5}}-\dfrac{4}{\sqrt{5}}}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{D_{\hat r}f(1,1)}=\mathsf{-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}}}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

Derivada direcional

https://brainly.com.br/tarefa/32084609

Bons estudos! : )

Equipe Brainly