Question

Calcule a Transformada de Laplace de $f(t) = cos(at)$

Answer 1

A transformada de Laplace da função $\large\displaystyle\begin{gathered} f(t)=\cos (at)\end{gathered}$ já é tabelada, e possui como resposta:

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\mathcal{L}\left\{\cos (at)\right\} =\frac{s}{s^2+a^2} }\end{gathered} }$

Quando dizemos que uma coisa já é tabelada, quer dizer que alguém já provou que aquilo realmente é aquilo. Bom, irei utilizar a definição da transformada de Laplace, dada por:

                     $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\} = \int _0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\end{gathered}$

Logo, temos que

              $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{L}\left\{ \cos(at)\right\} = \int _0^{\infty}e^{-st}\cos (at)dt\end{gathered}$

Utilizando o método da integração p/partes, aplicando a fórmulinha: $\large\begin{gathered}\blue{\Bigg(}\int u v=uv -\int vdu\blue{\Bigg)}\end{gathered}$.Chamando então    

         $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _0^{\infty}e^{-st}\cos (at)dt\begin{cases} u\rightarrow e^{-st}\\ du\rightarrow -se^{-st}dt\\ dv\rightarrow \cos (at)dt\\ v\rightarrow \frac{\sin(at)}{a} \end{cases}\end{gathered}$

Ficando então:

  $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \mathcal{L}\left\{ \cos(at)\right\} =\left. \frac{e^{-st}\sin (at)}{a}\right|_0^{\infty}+\frac{s}{a}\cdot \underbrace{\int _0^{\infty}e^{-st}\sin (at)dt }_{integre\ p/partes\ dnv} \end{gathered} }$

Olha que interessante, calculando aquela outra integral iremos voltar a integral original, logo iremos chamar essa integral de uma incognita qualquer, no meu caso irei chamar de K.

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int e^{-st}\cos (at) dt=\frac{e^{-st}\sin(at)}{a} -\frac{se^{-st}\cos (at)}{a^2}-\frac{s^2}{a^2} \int e^{-st} \cos (at)dt\end{gathered} }$

  $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} K+\frac{s^2}{a^2}K=\frac{e^{-st}\sin(at)}{a} -\frac{se^{-st}\cos (at)}{a^2} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} K\left(\frac{a^2+s^2}{a^2}\right)=\frac{e^{-st}\sin(at)}{a} -\frac{se^{-st}\cos (at)}{a^2} \end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} K=\frac{\dfrac{e^{-st}\sin(at)}{a}}{\left(\dfrac{a^2+s^2}{a^2}\right)} -\frac{\dfrac{se^{-st}\cos (at)}{a^2} }{\left(\dfrac{a^2+s^2}{a^2}\right)}\end{gathered} }$

Simplificando..

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} K=\frac{a^{\not{2}}e^{-st}\sin (at)}{\not{a}(s^2+a^2)} - \frac{s\not{a^2}e^{-st}\cos (at)}{\not{a^2}(s^2+a^2)}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered} K=\frac{1}{s^2+a^2}\cdot \left[ ae^{-st}\sin(at)-se^{-st}\cos (at)\right] \end{gathered}$

Aplicando o limite de integração de 0 até infinito, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} K=\frac{1}{s^2+a^2}\cdot \left[ \underbrace{(ae^{-s\infty}\sin(a\infty)-se^{-s\infty}\cos (a\infty))}_{\rightarrow0}-...\right] \end{gathered} }$

Coloquei essa reticências para indicar aquela função quando vai para 0, que por sinal da S. Ficando então:

   $\large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{L}\left\{ \cos(at)\right\} = \frac{1}{s^2+a^2}\cdot \left[ s\right] \end{gathered}$

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\boxed{\green{\mathcal{L}\left\{ \cos(at)\right\} = \frac{s}{s^2+a^2} }}}\ c.q.d\ \checkmark\end{gathered} }$

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/49466035

Answer 2

A transformada de Laplace é                            

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\mathcal{L}\left\{\cos \left(\omega t \right)\right\} =\frac{s}{s^2+\omega^2}}\end{gathered}$

Existem duas maneiras de demonstrar essa transformada de Laplace, uma fazendo pela definição com cosseno, e outra transformando em exponencial e fazendo a transformada com a exponencial. Convido você a ver a demonstração por definição da transformada de sin(at), muito similar a essa num PDF que escrevi e estará em anexo.

Irei resolver fazendo pela exponencial, para isso, considere a função

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(t) = \cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$

Pela fórmula de Euler temos

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{i\omega t} = \cos\left(\omega t\right) + i\sin\left(\omega t\right)\end{gathered}$

E quando expoente é negativo

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{-i\omega t} = \cos\left(\omega t\right) - i\sin\left(\omega t\right)\end{gathered}$

Somando as duas equações vem que

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} = 2\cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$

Ou seja, podemos escrever o cosseno como a soma de duas exponenciais complexas

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\cos \left(\omega t\right) = \frac{e^{i\omega} + e^{-i\omega}}{2}}\end{gathered}$

Agora vamos guardar essa informação.

Sabemos pela definição da transformada de Laplace que

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \int_{0^+}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt\end{gathered}$

Vamos fazer a transformação de uma exponencial de expoente complexo

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{\alpha t}\right\} = \int_{0^+}^{\infty} e^{\alpha t}e^{-st}\,dt\end{gathered}$

Pela propriedade do expoente de mesma base podemos somar, ficando então

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{\alpha t}\right\} = \int_{0^+}^{\infty} e^{-t\left(s-\alpha\right)}\,dt\end{gathered}$

Fazendo a substituição u = -t(α - s), du = -(α - s)dt

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{\alpha t}\right\} = \frac{1}{s -\alpha }\int_{-\infty}^{0^{+}} e^{u}\,du\end{gathered}$

Portanto

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{\alpha t}\right\} = \left.\frac{e^u}{s -\alpha }\right|_{-\infty}^{0^+}\end{gathered}$

Que por fim

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{\alpha t}\right\} = \frac{1}{s-\alpha}\end{gathered}$

Agora que sabemos a transformada da exponencial, podemo fazer

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\cos \left(\omega t \right)\right\} =\mathcal{L}\left\{ \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}\right\}\end{gathered}$

Pela linearidade da transformada de Laplace

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\cos \left(\omega t \right)\right\} =\frac{1}{2}\mathcal{L}\left\{ e^{i\omega t} \right\} +\frac{1}{2} \mathcal{L}\left\{e^{-i\omega t}\right\}\end{gathered}$

Basta usar a transformada já deduzida anteriormente onde α = iω, logo

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\cos \left(\omega t \right)\right\} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-i\omega} +\frac{1}{s+i\omega}\right) \end{gathered}$

Colocando o denominador comum temos

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\cos \left(\omega t \right)\right\} =\frac{1}{2}\left(\frac{s+i\omega + s - i\omega}{(s+i\omega)(s-i\omega)}\right) \end{gathered}$

Veja que iω e -iω se cancelam, e o 2s cancela com o 2 no denominador, e aplicando o produto notável no denominador a²-b² = (a+b)(a-b)

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\mathcal{L}\left\{\cos \left(\omega t \right)\right\} =\frac{s}{s^2+\omega^2}}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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Veja mais sobre no PDF em anexo

8b915206d68c044372a353274d92275c.pdf