Question

Calcule.

a)$\int\limits{\frac{1}{x^2-4} } \, dx$



Integrais indefinidas do tipo $\int\limits{\frac{P(x)}{(x-\alpha )(x-\beta) } } \, dx$

Answer 1

Essa integral pode ser resolvida pelo método das integrais parciais. Esse método consiste em simplificar a função, de modo que possamos resolver facilmente a integral.

• Note que x² - 4 é o mesmo que ( x - 2 ) ( x + 2 ).

Então,

$\mathsf{\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}}$

Agora precisamos "separar" a expressão em duas somas de frações e, para isso, devemos atribuir duas incógnitas aos denominadores e encontrar os valores dessas incógnitas. Ou seja,

$\mathsf{\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{A(x+2)+B(x-2)}{(x-2)(x+2)}}$

Como os denominadores são iguais, podemos simplificar os denominadores.

$\mathsf{1=A(x+2)+B(x-2)}$

Queremos encontrar os valores de A e B sem que a gente precise do sistema. Para isso, pense em um número x que quando substituído obteremos o valor de A. Esse número é o 2. Logo,

$\mathsf{1=A(2+2)}\\ \\\mathsf{4A=1}\\ \\\mathsf{A=\dfrac{1}{4}}$

Para que possamos encontrar o valor de B substituímos o x por - 2.

$\mathsf{1=B ( - 4 )}\\ \\\mathsf{B=-\dfrac{1}{4} }$

Daí vem

$\bf\displaystyle\int\frac{\frac{1}{4}}{(x-2)}+\frac{(-\frac{1}{4} )}{(x+2)}~dx \\ \\ \\ \bf\frac{1}{2} \displaystyle\int\frac{1}{(x-2)}~dx-\bf\frac{1}{2}\displaystyle\int\frac{1}{(x+2)}~dx\\ \\ \\ \boxed{\bf\frac{1}{2} \big[ln(x-2)-ln(x+2)]+c}~\checkmark$