Question

Calcule
a)
$(4 - i ) + ( - 5 + 3i)$
b)
$( - 7 + 2i) - (9 + 4i)$
2) Resolva as equações em C
a)
$x ^{2} + 4 = 0$
b)
$x ^{2} + 2x + 5$
​

Answer 1

Resposta:

(4-1) + (-5+30)=28

B

(-7+20)-(9+40)=44

Explicação passo-a-passo:

*obs nao tem como ser 0 no a

 B 2².22+5 +93

Answer 2

Resposta:

1 a) - 1 + 2i

1 b) - 16 - 2i

2 a)  S = { - 2i ; + 2i }

2 b)  S = { - 1 - 2i ; - 1 + 2i }

Observação 1 → Os números complexos

Qualquer número complexo pode ser representado na forma:

z = x + y i

Sendo x; y ∈ |R e "i" a unidade imaginária

x é a parte real

yi é aparte imaginária

Observação 2 → Adição de números complexos.

Adicionam- se as partes reais.

Adicionam-se as partes imaginárias

1 a) ( 4 - i ) + ( - 5 + 3i )

= ( 4 - 5 ) + ( - i + 3i )

= (4 - 5 ) + ( - 1 + 3 ) i

= - 1 + 2i

Observação 2 → Coeficientes "escondidos" ou "fantasmas "

Quando temos " - i " o que lá esta representado é "- 1 * i "

Os matemáticos para simplificarem a escrita simbólica desta ciência,

concordaram entre eles certas regras para tornar as expressões mais

simples.

Então decidiram, também neste caso, que o coeficiente " - 1 " não é preciso

o escrever.

Basta colocar o sinal.

Mas ele está lá sempre que seja necessário fazer cálculos.

1 b) ( - 7 + 2i ) - ( 9 + 4i)

Associar  as partes reais , entre si , bem como e as partes imaginárias

= ( - 7 - 9 ) + ( 2 - 4 ) i

= - 16 - 2 i

c) Resolver em C

$x^{2} +4=0$

$x^{2} =-4$

$x=+\sqrt{-4}$   ∨  $x = - \sqrt{-4}$

Presta-se atenção a $\sqrt{-4}$

Este operação de extrair a raiz quadrado a um número negativo, não é

possível nos números reais.

Pode-se fazer um desenvolvimento:

$\sqrt{-4} =\sqrt{4} *\sqrt{-1}$

Isto é possível dentro das regras da radiciação.

Mas temos de novo o problema de $\sqrt{-1}$

Para ultrapassar este bloqueio ao raciocínio matemático foi criada uma

nova noção e um novo conjunto.

Observação 3 → Unidade Imaginário e Números Complexos

$\sqrt{-1} =i$   passou a ser chamado de Unidade Imaginária

E todos os números que lidam com esta unidade imaginária passaram a

classificados como Números Complexo ( C)

Assim já é também possível resolver equações em C.

Concluindo a alínea c)

$x=+\sqrt{-4}$   ∨  $x = - \sqrt{-4}$

$x=+\sqrt{-4}=\sqrt{4}*\sqrt{-1} =+ 2i$  

∨  

$x = - \sqrt{-4}=-\sqrt{4} *\sqrt{-1} =-2i$

Estão assim encontradas as raízes desta equação em C

b)

$x^{2} +2x+5=0$

Antes de resolver a equação temos conhecimento de que esta equação só pode ter raízes na forma de números imaginários.

Como estamos numa equação do 2º grau, calculemos o valor do binómio discriminante ( Δ = b² - 4*a*c )

a = 1

b = 2

c = 5

Δ = 2² - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = - 16

Observação 4 → Binómio discriminante ( um monte de informação )

Este binómio chama-se "discriminante " porque com a informação sobre o

tipo e número de raízes de uma equação do segundo grau.

Se Δ > 0 , a equação do 2º grau tem duas raízes reais e distintas

Se Δ = 0 , existe uma única raiz, a que curiosamente, chamamos de raiz dupla

Se Δ < 0 não existem raízes reais. As que existem assim são raízes de

números complexos

Continuando e resolvendo a equação da equação pela Fórmula de Bhaskara.

$x1=(-2+\sqrt{-16} ) / ( 2*1 )$

$x1=(-2+\sqrt{16}*\sqrt{-1} ) / 2$

$x1=(-2+4i ) / 2$

Colocando em evidência o 2 no numerador

$x1=(2*(-1+2i )) / 2$

O 2 no numerador cancela-se com o 2 no numerador

$x1=-1+2i$

$x2=(-2-\sqrt{-16} ) / 2$

A única "coisa" que mudou foi o sinal , agora "menos", antes de $\sqrt{-16}$

$x2 = - 1 - 2i$

Bom estudo.

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Sinais: ( * )  multiplicação      ( / ) divisão     ( ∨ )   ou

(x1 ; x2) nomes dados às raízes da equação do segundo grau

( C )  número complexos      ( |R ) números reais

$( \sqrt{-1} )$ = i   unidade imaginária      ( Δ ) letra grega, lê-se "delta"