Question

Calcule a somar dos 70 primeiros termos de uma PA sabendo que a₁ = 22 e r = 25.​

Answer 1

$> \: resolucao \\ \\ \geqslant \: progressao \: \: aritmetica \\ \\ a1 = 22 \\ r = 25 \\ \\ > \: o \: 70 \: termo \: da \: pa \\ \\ an = a1 + (n - 1)r \\ an = 22 + (70 - 1)25 \\ an = 22 + 69 \times 25 \\ an = 22 + 1725 \\ an = 1747 \\ \\ \\ > \: a \: soma \: dos \: 70 \: termos \: da \: pa \\ \\ \\ sn = \frac{(a1 + an)n}{2} \\ \\ sn = \frac{(22 + 1747)70}{2} \\ \\ sn = \frac{1769 \times 70}{2} \\ \\ sn = 1769 \times 35 \\ \\ sn = 61915 \\ \\ \\ \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \geqslant$

Answer 2

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a soma dos 70 primeiros termos de uma PA é $\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{70} = 61\:915 } }$.

Progressão aritmética ( PA ) é uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante, chamada razão.

Exemplos:

( 2, 7, 12, 17, ...) é uma progressão aritmética de razão 5.

(2, 2, 2,2 ) é uma progressão aritmética de razão 0.

A representação de uma P.A é $\boldsymbol{ \textstyle \sf (a_1, a_2, a_3, \dotsi a_n) }$. Todos os termos da P.A podem ser escritos em função do primeiro termo $\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 }$ e da razão por meio de uma relação.

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } }$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ número de termos;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }$ razão da PA;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral.

A soma de todos os termos da PA finita poderá ser calculada pela expressão:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf n = 70 \\\sf a_1 = 22 \\\sf r = 25 \\\sf S_{70}= \:? \end{cases} } }$

Primeiramente devemos calcular o valor de  septuagésimo termos da PA.  Aplicando a definição do termo geral de uma PA.

$\Large \displaystyle \mathsf{ a_n = a_1 +( n-1) \cdot r }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{70} =22 +( 70-1) \cdot 25 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{70} =22 +69 \cdot 25 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a_{70} =22 +1\:725 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_{70} = 1\;747 }$

Agora que temos valor $\boldsymbol{ \textstyle \sf a_{70} }$, basta substituir na fórmula da soma dos termos de uma PA finita.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{70} = \dfrac{(a_1+a_{70}) \cdot n}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{70} = \dfrac{(22 + 1\;747) \cdot 70}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{70} = 1\:769 \cdot 35 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_{70} = 61\:915 }$

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