calcule a soma dos trinta primeiros termos da P.A (-1,1,...)
Soluções para a tarefa
(-1 + 29 ) 15 = Sn
28 x 15 = 280 + 140 = 420
Boa tarde! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (-1, 1, ...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: -1
b)número de termos (n): 30 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, é solicitado o cálculo de apenas um conjunto de seus termos, ou seja, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 30º), equivalente ao número de termos.)
c)soma dos trinta primeiros termos (S₃₀): ?
(II)Determinação da razão (r) da progressão geométrica:
Observação 1: A razão de uma P.A sempre será calculada por meio da subtração entre um termo e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ =>
r = 1 - (-1) (Note que há uma multiplicação no segundo termo: -1.(-1), em que o fator 1 não precisa ser indicado.)
r = 1 - 1.(-1) (Aplica-se ao termo destacado a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais resultam sempre em sinal de positivo.)
r = 1 + 1 =>
r = 2
(III)Após haver obtido o valor da razão no item (II), basta aplicá-la, juntamente com o primeiro termo e o número de termos, na fórmula do termo geral. O cálculo deste se faz necessário porque é uma das incógnitas constantes na fórmula da soma dos termos da progressão aritmética.
an = a₁ + (n - 1) . r =>
a₃₀ = a₁ + (n - 1) . r =>
a₃₀ = (-1) + (30 - 1) . 2 =>
a₃₀ = (-1) + (29) . 2 (Em virtude de se lidar apenas com números positivos no segundo termo, os parênteses podem ser desconsiderados.)
a₃₀ = -1 + 29 . 2 (Note que primeiramente devem ser resolvidas as multiplicações e as divisões que existirem em uma expressão numérica.)
a₃₀ = -1 + 58 =>
Observação 2: Aqui deve ser aplicada a regra de sinais da subtração: em caso de dois sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior módulo. Por módulo, de forma simplificada, deve-se entender como o número desconsiderando-se o sinal. Assim, entre 1 e 58 (módulos de (-1) e (58)), verifica-se que 58 é maior que 1 e, portanto, o sinal do primeiro deverá ser conservado.
a₃₀ = -1 + 58 =>
a₃₀ = 57
(IV)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula da soma dos termos de um PA:
Sn = ((a₁ + an) . n) / 2 =>
S₃₀ = ((a₁ + a₃₀) . n) / 2 =>
S₃₀ = ((-1 + 57) . 30) / 2 (Simplificação: dividem-se o fator 30 e o denominador 2 por 2, que é o máximo divisor entre eles.)
S₃₀ = ((-1 + 57) . 15) / 1 =>
S₃₀ = ((-1 + 57) . 15) =>
S₃₀ = ((56) . 15)
S₃₀ = 840
Resposta: A soma dos 30 primeiros termos da P.A(-1, 1, ...) é 840.
DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
Substituindo S₃₀ = 840 na fórmula do termo geral da P.A, verifica-se que o resultado nos dois lados será igual, confirmando-se que o valor obtido está correto:
Sn = ((a₁ + an) . n) / 2 =>
S₃₀ = ((a₁ + an) . n) / 2 =>
840 = ((-1 + 57) . 30) / 2 (Nos termos destacados, aplica-se a regra de sinais da subtração indicada na Observação 2 acima.)
840 = ((56) . 30) / 2 (Simplificação: dividem-se o fator 56 e o denominador 2 por 2, que é o máximo divisor entre eles.)
840 = (28 . 30) / 1 =>
840 = (840) / 1 =>
840 = 840
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!