Question

calcule a soma dos termos de uma P.G, sabendo-se que a1=5, an=320 e q=4

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a soma dos termos de uma PG, sabendo-se das seguintes informações: o primeiro termo (a1) é igual a "5"; a razão (q) é igual a "4"; e o último termo (an) é igual a "320".

Bem, veja que, para encontrarmos a soma dos termos de uma PG por meio da fórmula própria para isso, deveremos, primeiro, encontrar o número de termos da PG, que será dado pela fórmula do termo geral e que é esta:

an = a1*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "320", substituiremos "a1" por "5" e substituiremos "q" por "4", ficando:

320 = 5*4ⁿ⁻¹ ----- vamos apenas inverter, ficando assim:

5*4ⁿ⁻¹ = 320 ------- isolando 4ⁿ⁻¹, ficaremos:
4ⁿ⁻¹ = 320/5
4ⁿ⁻¹ = 64 -------- note que 64 = 4³ . Assim:
4ⁿ⁻¹ = 4³ ------ como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

n - 1 = 3 ---- passando '-1" para o 2º membro, temos:
n = 3+1
n = 4 <---- Este é o número de termos da PG.

Bem, agora que já temos o número de termos da PG, vamos encontrar a soma dos seus termos, aplicando a fórmula:

Sn = a1*[qⁿ - 1]/(q-1)

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S4", pois a PG, como você viu tem 4 termos. Por sua vez, substituiremos "a1" por "5". Por seu turno, substituiremos "q" por "4". E, finalmente, substituiremos "n" por "4" também, que é o número de termos da PG.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S4 =  5*[4⁴ - 1](4-1)
S4 = 5*[256 - 1]/3
S4 = 5*[255]/3 ---- ou apenas:
S4 = 5*255/3
S4 = 1.275/3
S4 = 425 <---- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.