Question

Calcule a soma dos quadrados das raízes reais da equação: $(5+2\sqrt{6}) ^{2x-3} + (5 - 2\sqrt{6} )^{2x-3} =10$

Answer 1

Temos a seguinte equação para resolver

$\fbox{\displaystyle (5+2\sqrt{6})^{2x-3} + (5-2\sqrt{6})^{2x-3} = 1 0 }$

Seria muito bom se $(5+2\sqrt{6})$ tivesse alguma relação com $(5-2\sqrt{6})$, e tem.

Repare que se eu fizer o inverso de $(5+2\sqrt{6})$, terei exatamente $(5-2\sqrt{6})$, vamos testar .

$\fbox{\displaystyle \frac{1}{(5+2\sqrt{6})}.\frac{(5-\sqrt{6})}{(5-\sqrt{6})} \to \frac{5-\sqrt{6}}{(5^2-[2\sqrt{6}]^2) } \to \frac{5-2\sqrt{6}}{25-24} \to \frac{5-2\sqrt{6}}{1} }$

Apenas racionalizei, é só fazer com calma que vc chega nesse resultado acima.

Então vemos que :

$\fbox{\displaystyle (5-2\sqrt{6}) = \frac{1}{(5+2\sqrt{6})} }$

Então vamos reescrever dessa forma lá na equação :

$\fbox{\displaystyle (5+2\sqrt{6})^{2x-3} + [\frac{1}{(5+2\sqrt{6})}]^{2x-3} = 1 0 }$

para facilitar nossa vida, vamos fazer uma troca de variável.Assim :

$(5+2\sqrt{6}) = b$

reescrevendo teremos que :

$\fbox{\displaystyle (b)^{2x-3} + \frac{1}{(b){^{2x-3}}} = 1 0 }$

Agora vamos multiplicar dos dois lados da igualdade por $b^{2x-3}$

$\fbox{\displaystyle (b)^{2x-3}.(b)^{2x-3} + \frac{(b)^{2x-3}}{(b){^{2x-3}}} = 1 0.(b)^{2x-3} }$

portanto

$\fbox{\displaystyle ((b)^{2x-3})^2 + 1 = 1 0.(b)^{2x-3} \to ((b)^{2x-3})^2 -1 0.(b)^{2x-3} + 1 = 0 }$

temos uma equação do 2º para resolver, sendo nossa incógnita $b^{2x-3}$

Usando bhaskara

$\fbox{\displaystyle b^{2x-3} = \frac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4.1.1}}{2.1} \to b^{2x-3} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} }$

sabendo que :

$96 = 2^4.6$

podemos tirar o $2^4$ da raiz, ficando $2^2$ que é igual a 4, ou seja :

$\fbox{\displaystyle b^{2x-3} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} \to b^{2x-3} = 5\pm 2\sqrt{6} }$

agora podemos voltar para expressão original, substituindo $(5+2\sqrt{6}) = b$

ficando assim :

$\fbox{\displaystyle (5+2\sqrt{6})^{2x-3} = (5+ 2\sqrt{6}) \to 2x-3 = 1 \to 2x = 4 \to x = 2 }$

E

$\fbox{\displaystyle (5+2\sqrt{6})^{2x-3} = (5-2\sqrt{6}) \to (5+2\sqrt{6})^{2x-3} = \frac{1}{5+2\sqrt{6}} }$

Temos que  :

$\fbox{\displaystyle (5+2\sqrt{6})^{2x-3} = (5+2\sqrt{6})^{-1} \to 2x-3 = -1 \to 2x = 2 \to x = 1 }$

Então achamos dois valores

$\fbox{\displaystyle x = 2 \ e \ x= 1 }$

A questão pede a soma dos quadrados das raízes da equação, ou seja :

$\fbox{\displaystyle 2^2 + 1^2 = 4 + 1 \to 5 }$