Question

calcule a soma dos quadrados das raizes do polinomio x^4+5x^3-11x^2+4x-7=0

gabarito=
a^2+b^2+c^2+d^2=47​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{47~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o resultado esta expressão, utilizaremos as Relações de Girard.

Seja uma equação polinomial de grau $4$: $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$, tal que $a\neq0$.

Dividindo ambos os lados da equação por $a$, teremos: $x^4+\dfrac{b}{a}x^3+\dfrac{c}{a}x^2+\dfrac{d}{a}x+\dfrac{e}{a}$.

As relações de Girard nos garantem que:

• A soma das raízes é dada por: $S_1=-\dfrac{b}{a}$.
• A soma dos produto das raízes, duas a duas é dada por: $S_2=\dfrac{c}{a}$.
• A soma dos produtos das raízes, três a três, é dada por: $S_3=-\dfrac{d}{a}$.
• O produto das raízes é dado por: $P=\dfrac{e}{a}$.

Assim, podemos reescrever a equação como:

$x^2-S_1x^3+S_2x^2-S_3x+P=0$.

Buscamos a soma dos quadrados das raízes deste polinômio. Então, sejam $x_1,x_2~,x_3$ e $x_4$ estas raízes.

A expressão que buscamos será: ${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2$

Podemos reescrever esta expressão como a seguinte diferença:

$(x_1+x_2+x_3+x_4)^2-2(x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_1\cdot x_4+x_2\cdot x_3+x_2\cdot x_4+x_3\cdot x_4)$

Utilizando as relações de Girard, podemos reescrever esta expressão como:

${S_1}^2-2\cdot S_2$

Então, seja a equação $x^4+5x^3-11x^2+4x-7=0$.

Podemos ver que:

A soma das raízes será igual a: $S_1=-\dfrac{5}{1}=-5$.

A soma dos produtos das raízes, duas a duas, será igual a: $S_2=\dfrac{-11}{1}=-11$.

Substituindo estes valores na expressão que buscávamos, teremos:

$(-5)^2-2\cdot(-11)$

Calcule a potência e multiplique os valores

$25+22$

Some os valores

$47$

Este é o resultado que buscávamos.