Question

Calcule a soma dos múltiplos de 7 conpreendidos entre 50 e 250

Answer 1

Queremos calcular a seguinte soma:

$56+63+70+\ldots+238+245\\\\ =7\cdot 8+7\cdot 9+7\cdot 10+\ldots+7\cdot 34+7\cdot 35\\\\ =7\cdot (\underbrace{8+9+10+\ldots +34+35)}_{\text{P.A.~~r=1}}~~~~~~\mathbf{(i)}$


Os termos entre parênteses formam uma progressão aritmética de razão r = 1, cuja fórmula do termo geral é

$a_n=8+(n-1)\cdot 1\\\\ a_n=8+n-1\\\\ a_n=7+n\,,~~~~~~\text{com }n=1,\,2,\,3,\,\ldots,\,27,\,28$


Pela fórmula da soma da P.A., temos

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\\\\\\ S_{28}=\dfrac{(a_1+a_{28})\cdot 28}{2}\\\\\\ S_{28}=\dfrac{(8+35)\cdot 28}{2}\\\\\\ S_{28}=43\cdot 14\\\\ S_{28}=602\\\\ \boxed{\begin{array}{c} 8+9+10+\ldots+34+35=602 \end{array}}$

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Substituindo em $\mathbf{(i)}\,,$ obtemos

$56+63+70+\ldots+238+245\\\\ =7\cdot 602\\\\=4\,214$