Question

Calcule a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 500.

Obs: preciso do cálculo pfvr

Answer 1

Critério de divisibilidade do 11 para números de 3 dígitos

Um número da forma $\mathsf{abc}$, onde a, b e c são os dígitos desse número, é divisível por 11 se, e somente se o número $\mathsf{a-b+c}$ é divisível por 11

Ex: 121 é divisível por 11, pois 1 - 2 + 1 = 0, e 0 é divisível por 11
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Sabemos que os múltiplos de um número formam uma progressão aritmética

No caso dos múltiplos (não negativos) de 11, temos

0, 11, 22, 33, 44, 55, ...

Queremos encontrar os múltiplos de 11 entre 100 e 500 (esses também formam P.A)

Vamos encontrar o primeiro múltiplo de 11 em [100,500]:

Sabemos que 99 é múltiplo de 11, pois 99 = 9.11

O próximo múltiplo de 11 é 99 + 11 = 110 = 10.11

Agora, precisamos do último múltiplo de 11 em [100,500].

Utilizando o critério de divisibilidade do 11, o encontraremos facilmente:

500 ----> 5 - 0 + 0 = 5, que não é divisível por 11, logo 500 também não é
499 ----> 4 - 9 + 9 = 4, que não é divisível por 11, logo 499 também não é
...
496 ----> 4 - 9 + 6 = 1, que não é divisível por 11, logo 496 também não é
495 ----> 4 - 9 + 5 = 0, que é divisível por 11, logo 495 também é

(de fato, 495 = 45.11)

Portanto, temos a progressão aritmética de múltiplos de 11 em [100,500]:

110, 110 + 11, 110 + 11 + 11, ..., 495 - 11, 495

O termo geral dessa P.A é

$\mathsf{a_{n}=a_{1}+(n-1)r=110+(n-1)\cdot11=110+11n-11=99+11n}$

Agora, para usarmos a fórmula da soma dos n (primeiros) termos de uma P.A, precisamos saber a posição do 495 nesta progressão. Ou seja, precisamos encontrar n que faça $\mathsf{a_{n}=495}$

$\mathsf{a_{n}=495}\\\\\mathsf{99+11n=495}\\\\\mathsf{11n=495-99}\\\\\mathsf{11n=396}\\\\\mathsf{n=\dfrac{396}{11}=36}$

(ou seja, existem 36 múltiplos de 11 entre 100 e 500)

Agora, podemos encontrar a soma desses múltiplos, pois

$\mathsf{110+\dots+495=S_{n}}\\\\\mathsf{110+\dots+495=\dfrac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}\\\\\\\mathsf{110+\dots+495=\dfrac{(110+495)\cdot36}{2}}\\\\\\\mathsf{110+\dots+495=(110+495)\cdot18}\\\\\\\mathsf{110+\dots+495=605\cdot18}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{110+\dots+495=10890}}}$

Answer 2

resolução!

an = a1 + ( n - 1 ) r

495 = 110 + ( n - 1 ) 11

495 = 110 + 11n - 11

495 = 99 + 11n

495 - 99 = 11n

396 = 11n

n = 396 / 11

n = 36

Sn = ( a1 + an ) n / 2

Sn = ( 110 + 495 ) 36 / 2

Sn = 605 * 18

Sn = 10890