Question

calcule a soma dos inversos das raízes da equação 2x^4-4x^3-6x^2+4x-1=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, guilherme, que esta aqui já dá pra fazer sem maiores problemas.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para calcular a soma dos inversos das raízes da equação abaixo:

2x⁴ - 4x³ - 6x² + 4x - 1 = 0

ii) Veja: pelas relações de Girard, note que uma equação do 4º grau da forma: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, com raízes iguais a x', x'', x''' e x'''',  observa-se isto:

x'+x''+x''' + x'''' = -b/a       . (I)

e o produto desses mesmas raízes será dado por:

x' * x'' * x'''' * x'''' = e/a      . (II)

iii) Como a equação da sua questão é esta: 2x⁴ - 4x³ - 6x² + 4x - 1 = 0, então note que o termo "a" é igual a "2" (que é o coeficiente de x⁴); o termo "b" é "-4" (que é o coeficiente de x³); o coeficiente "d" é "4" (que é o coeficiente de x) e o termo "e" é "-1" (que é o coeficiente do termo independente).

iii.1) Então utilizando a expressão (I), que é esta:

x' + x'' + x''' + x'''' = -b/a ----- fazendo as devidas substituições, temos:

x' + x'' + x''' + x'''' = -(-4)/2
x' + x'' + x''' + x'''' = 4/2
x' + x'' + x''' + x''''= 2      . (III)

iii.2) Por sua vez, o produto das raízes, tomadas três a três,, será dado por:

x'*x''*x'''+ x'*x''*x'''' + x'*x'''*x'''' + x''*x'''*x'''' = -d/a ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

x'*x''*x'''+ x'*x''*x'''' + x'*x'''*x'''' + x''*x'''*x'''' = -4/2
x'*x''*x'''+ x'*x''*x'''' + x'*x'''*x'''' + x''*x'''*x'''' = - 2     . (IV)

iii.3) Por sua vez, o produto será este, utilizando-se a expressão (II), que é esta:

x' * x'' * x'''' * x'''' = e/a ---- fazendo as devidas substituições, teremos:

x' * x'' * x''' * x'''' = -1/2      . (V)

iv) Agora veja: vamos para a expressão (III), que é esta:

x' + x'' + x''' + x'''' = 2 ----- como nós estamos querendo a soma do inverso das raízes, então vamos chamar essa soma de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa. Assim, essa soma dos inversos das raízes será esta:

y = 1/x' + 1/x'' + 1/x''' + 1/x''''

Note que o mmc da soma acima será: x' * x'' * x''' * x''''. Assim, utilizando-o, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador). Assim, teremos:

y = (x''*x'''*x''''*1 + x'*x'''*x''''*1 + x'*x''*x''''*1 + x'*x''*x'''*1)/(x'*x''*x'''*x'''')
y = (x''*x'''*x''' + x'*x'''*x''' + x'*x''*x''' + x'*x''*x''')/(x'*x''*x'''*x''')

Mas veja que se colocarmos na ordem o numerador acima da nossa expressão "y" acima,  vamos encontrar exatamente o que está exposto na nossa expressão (IV), que é isto:

y = (x'*x''*x'''+ x'*x''*x'''' + x'*x'''*x'''' + x''*x'''*x'''')/(x'*x''*x'''*x'''')

Agora note: o que temos no numerador acima nada mais é do que o valor "-2", conforme vimos na expressão (IV); e o que temos no denominador, nada mais é do que o que o valor de "-1/2", conforme vimos na expressão (V). Então, fazendo as devidas substituições, temos que:

y = (-2) / (-1/2) ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, temos:
y = 2/(1/2) ---- note que "1/2" é a mesma coisa que "0,5". Assim:
y = 2/0,5 ---- e, finalmente, veja que esta divisão dá exatamente "4". Logo:
y = 4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor da soma dos inversos das raízes da equação da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.