Question

calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G de razão 2/3 em que o quarto termo é igual a 1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para calcular a soma dos 6 primeiros termos de uma PG de razão igual a "2/3" e em que o quarto termo (a4) é igual a "1".

Antes veja que qualquer termo de uma PG poderá ser obtido pela fórmula do seu termo geral que é este:

an = a1*qⁿ⁻¹ , em que "an" é o termo geral (é o termo que você quer encontrar); "a1" é o primeiro termo, "q" é a razão e "n" é o número de termos.
Assim, tendo a fórmula acima como parâmetro, então o 4º termo será dado da seguinte forma:

a4 = a1*q⁴⁻¹ --- ou apenas:
a4 = a1*q³ ------ substituindo-se "a4" por "1" e "q" por "2/3", teremos:
1 = a1*(2/3)³ ------ note que (2/3)³ = 8/27. Assim:
1 = a1*(8/27) ----- ou apenas:
1 = a1*8/27 ---- ou apenas ainda:
1 = 8a1/27 ----- multiplicando em cruz, teremos
27*1 = 8a1
27 = 8a1 ----- vamos apenas inverter, ficando:
8a1 = 27
a1 = 27/8 <---- Este é o valor do primeiro termo (a1).

Agora vamos a soma dos 6 primeiros termos dessa PG. Veja que a soma dos termos de uma PG finita é dada por:

Sn = a1*[qⁿ - 1]/(q-1)

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S6", pois estamos querendo a soma dos "6" primeiros termos. Por sua vez, substituiremos "a1" por "27/8", que é o valor do primeiro termo. Por seu turno, substituiremos "q" por "2/3", que é o valor da razão da PG. E, finalmente, substituiremos "n" por "6", pois estamos encontrando a soma dos 6 primeiros termos. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S6 = (27/8)*[(2/3)⁶ - 1]/(2/3 - 1) ----- Veja que: (2/3)⁶ = 64/729. Assim:
S6 = (27/8)*[64/729 - 1]/(2/3 - 1)

Agora note que:
64/729 - 1 = (1*64 - 729*1)/729 = (64-729)/729 = - 665/729
e
2/3 - 1 = (1*2 - 3*1)/3 = (2-3)/3 = - 1/3 .

Assim, fazendo as devidas substituições na nossa expressão acima, temos:

S6 = (27/8)*[-665/729]/(-1/3) ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, então ficaremos assim:

S6 = (27/8)*(665/729)/(1/3) ------ ou, o que é a mesma coisa:
S6 = (27*665/8*729) / (1/3)
S6 = (17.955/5.832) / (1/3) ----- note que temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

S6 = (17.955/5.832)*(3/1)
S6 = 17.955*3 / 5.832*1
S6 = 53.865 / 5.832 ---- dividindo numerador e denominador por 81, ficaremos:

S6 = 665/72 ----- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.