Question

Calcule a soma dos 12 primeiros termos da PG (3,3√2,6....)​

Answer 1

A soma dos 12 primeiros termos da PG é

                                        $\Large\text{ \begin{gathered}S_n = \frac{a_1\left(q^{n}-1\right)}{q-1}\\ \\ S_{12} = 189\left(\sqrt{2}+1\right)\end{gathered} }$

Primeiro precisamos achar qual a razão da P.G, sabemos que uma PG é dada por

                                                  $\Large\begin{gathered}a_n = a_1q^{n-1}\\ \\\end{gathered}$

Isolando q na equação chegamos em

                                                  $\Large\text{ \begin{gathered}q = \sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}\end{gathered} }$

Portanto se soubermos qual o valor de algum termo da sequência que não seja o primeiro podemos descobrir qual sua razão, como temos o segundo e terceiro podemos usar um deles, irei usar o terceiro termo, logo n = 3 e a_n = 6

                                                   $\Large\text{ \begin{gathered}q = \sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}\\ \\q = \sqrt[3-1]{\frac{6}{3}}\\ \\q = \sqrt{2}\end{gathered} }$

Agora que temos sua razão podemos aplicar a soma de PG para n-termos finitos, que é

                                          $\Large\begin{gathered}S_n = \frac{a_1\left(q^n-1\right)}{q-1}\end{gathered}$

Se é apenas os 12 primeiros termos, colocamos n = 12, a razão q já sabemos, portanto

                                        $\Large\text{ \begin{gathered}S_n = \frac{a_1\left(q^n-1\right)}{q-1}\\ \\S_n = \frac{3\left(\sqrt{2}^{12}-1\right)}{\sqrt{2}-1}\\ \\S_n = \frac{3\left(2^{6}-1\right)}{\sqrt{2}-1}\\ \\S_n = \frac{3\left(64-1\right)}{\sqrt{2}-1}\\ \\S_n = \frac{3\cdot 63}{\sqrt{2}-1}\\ \\S_n = \frac{189}{\sqrt{2}-1}\\ \\\end{gathered} }$

Podemos ainda racionalizar o denominador, logo

                                    $\Large\text{ \begin{gathered}S_{12} = \frac{189}{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\\ \\S_{12} = \frac{189\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}^2-1^2}\\ \\S_{12}= \frac{189\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}\\ \\S_{12} = 189\left(\sqrt{2}+1\right)\\ \\\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

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