Question

Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série

1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + ....

Usando a fórmula Sn, por favor

Answer 1

Série: $1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} ...$

A questão se refere a apenas 10 parcelas dessa série, portanto, é uma soma finita. Sendo assim, utilizaremos a fórmula para soma dos termos de uma P.G. finita.

$S_n= \frac{ a_1 \cdot (q^n-1)}{q-1} ~~~~~~~ (I)$

Em que:
a1 → Primeiro termo;
q   → Razão ($a_n/a_{n-1}$);
n   → Número de termos.

A razão:
$q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{ \frac{1}{2}} {1} = \frac{1}{2} \\ \\ \boxed{q= \frac{1}{2}}$

Para 10 termos, teremos:
$Sn= \frac{ a_1 \cdot (q^n-1)}{q-1} \\ \\ S_{10}= \frac{ 1 \cdot ((\frac{1}{2})^{10}-1) }{ \frac{1}{2} -1 } \\ \\ S_{10}= \frac{ \frac{1}{1024} - \frac{1024}{1024} }{ - \frac{1}{2} } \\ \\ S_{10}= (-\frac{1023}{1024}) \cdot (-2) \\ \\ \boxed{\boxed{S_{10}= \frac{1023}{512}}}$

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A titulo de curiosidade, perceba que $q^n$ quando a razão pertence ao intervalo -1<q<1 ao elevarmos ao número "n" de termos iremos obter uma coisa cada vez menor. Perceba:
$q= \frac{1}{2} \\ \\ q^2= \frac{1}{4}= 0,25 \\ \\ q^{15}= \frac{1}{32768} = 0,00003$

Sendo assim, é possível calcular a soma infinita dessa sequência, pois $q^n$ está cada vez mais próximo de 0. Trabalhando isso na expressão:
$S_{ni}= \frac{ a_1 \cdot (q^n-1)}{q-1}; ~~~~~~ q^n \to 0 \\ \\ S_{ni}= \frac{a_1 \cdot (-1)}{q-1} \\ \\ S_{ni}= - \frac{a_1}{q-1} \\ \\ S_{ni}= \frac{a_1}{1-q}$

E se essa série fosse infinita, o que obteríamos?
$S_{ni}= \frac{a1}{1-q} \\ \\ S_{ni}= \frac{1}{1- \frac{1}{2} } \\ \\ S_{ni}= 2$

Por fim, perceba:
$S_{10}= \frac{1023}{512}= 1,998 \\ \\ S_{ni}= 2 \\ \\ S_{ni} \approx S_{10}$