Question

Calcule a soma da series.

A )
∞
∑ (1/8^n+1/n(n+1)
n=1

B)
∞
∑ 2 (1/3)^n
n=1

Answer 1

Vamos reescrever as séries da seguinte maneira:

A)

∞
∑ (1/8)^n + ∑ 1/n(n+1)
n=1

Seja, Sn a soma do primeiro somatório.

E seja, Tn a soma do segundo somatório.

$S_{n} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8^2} +...+ \frac{1}{8^n}$

Multiplicando ambos os lados por 1/8 teremos o seguinte:

$\frac{1}{8} Sn = \frac{1}{8^2} + \frac{1}{8^3} +...+ \frac{1}{8^n} + \frac{1}{8^n^+^1}$

Subtraindo 1 em 2 ficamos que:

$\\ Sn- \frac{1}{8} Sn = \frac{1}{8} - \frac{1}{8^n^+^1} \\ \\ \frac{7}{8} Sn = \frac{1}{8} - \frac{1}{8^n8} \\ \\ \frac{7}{8} Sn = \frac{1}{8} ( 1- \frac{1}{8^n}) \\ \\ 7Sn = 1- \frac{1}{8^n} \\ \\ Sn = \frac{1}{7} - \frac{1}{7*8^n}$

Aplicando a definição de limite...

$\\ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7} - \frac{1}{7*8^n} \\ \\ im_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7} - 0 \\ \\ im_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{7}$

Agora devemos achar o somatório do segundo somatório.

$Tn = \frac{1}{n(n+1)}$

Usando frações parciais...

$\\ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \\ \\ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A(n+1)+B(n)}{n(n+1)} \\ \\ 1 = A(n+1)+B(n) \\ \\ 1 = An+A+Bn \\ \\ 1=n(A+B)+A \\ \\ \left \{ {{A=1} \atop {A+B=0=\ \textgreater \ B=-1}} \right. \\ \\ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Substituindo alguns valores iniciais desse somatório...

$\\ bn = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \\ bn = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{3} , \frac{1}{3} - \frac{1}{4}, ... \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$

De tal modo, que se somarmos todos os elementos desse somatório o único termo que irá sobrar será:

$Tn = 1- \frac{1}{n+1}$

Temos uma série telescópica.

Calculando o limite...

$\\ \lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} 1- \frac{1}{n+1} \\ \\ \lim_{n \to \infty} T_n = \lim_{n \to \infty} 1- 0 \\ \\ \lim_{n \to \infty} T_n = 1$

Então, somando 1 com 2 teremos:

$\\ S = Sn+Tn \\ \\ S = \frac{1}{7} +1 \\ \\ S = \frac{8}{7}$
-----------------------------------

B)

Seja, Sn o somatório de 2(1/3)^n

Como podemos ver, 


$0 \ \textless \ |r| \ \textless \ 1$

Então podemos utilizar a seguinte formula:


$Sn = \frac{ a_{1} }{1-r}$

Nosso "r = 1/3"

Agora, nosso "a1, será o termo com indice k =1"


$\\ a_{n} =2( \frac{1}{3} )^n \\ \\ a_{1} = 2(\frac{1}{3} )^1 \\ \\ a_{1} = \frac{2}{3}$

Substituindo-se na formula...

$\\ S_{n} = \frac{ \frac{2}{3} }{1- \frac{1}{3} } \\ \\ S_{n} = \frac{\frac{2}{3} }{ \frac{2}{3} } \\ \\ S_{n} = 1$