Question

Calcule a soma da série abaixo
Resposta: sqrt(2) + 2

Answer 1

∞                              ∞
 Σ   $(\frac{1}{ \sqrt{2} })^{n}$= Σ $(\frac{ \sqrt{2} }{ 2 })^{n}$, (racionalizei)
n=0                         n=0
Logo, temos o somatorio como:
Para n=0  ∞
                 Σ $(\frac{ \sqrt{2} }{ 2 })^{n}$=1, pois todo numero elevado a 0 é 1
                 n=0
Para n=1  ∞
                 Σ $(\frac{ \sqrt{2} }{ 2 })^{n}$= $\frac{ \sqrt{2} }{2}$
                n=0
E assim até o infinito. Para calcularmos a soma de todos esses termos ate o infinito, deveremos usar a fórmula da soma da progressão geometrica, pois é evidente que os termos do somatorio até o infinito são todos termos pertencentes a uma PG de raiz q=$\frac{ \sqrt{2}}{2}$, Logo utilizando a fórmula da soma de termos infinitos de uma PG, temos:
$S_{n}= \frac{a_{1}}{1-q}$, sendo $a_{1}$ o primeiro termo, temos:
$S_{n}= \frac{1}{1-\frac{ \sqrt{2} }{2} }$, racionalizando temos:
$S_{n}= \sqrt{2} +2$