Question

calcule a solucao da equacao x+3x+...+729x = 5465

Answer 1

Falta pelo menos mais um número para distinguirmos se é uma PA ou uma PG, então farei de ambas as formas:

Se esses "x" formam uma PA (x + 3x + 5x + 7x + ... + 729x) de razão 2, vendo só os números: (1,3,5,7,...,729)

Ache quantos termos tem essa PA:
an = a1 + (n - 1).r
729 = 1 + (n - 1).2
728 = (n - 1).2
728/2 = n - 1
n = 364 + 1
n = 365

Agora calcule a soma dos termos:
Sn = (a1 + an).n/2
Sn = (1 + 729).365/2
Sn = 730.365/2
Sn = 365.365
Sn = 133225

Então, a conta pode ser reescrita como:
133225x = 5465
x = 5465/133225       << simplifique por 5
x = 1093/26645
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Agora se for uma PG a sequencia seria: (x + 3x + 9x + ... + ... + 729x), uma PG crescente de razão 3 (1,3,9,27,...729)

Assim, vamos achar quantos termos têm essa PG:
an = a1 . q^(n - 1)
729 = 1 . 3^(n - 1)
3^6 = 3^(n - 1)
6 = n - 1
n = 6 + 1
n = 7

Agora vamos calcular a soma dos termos:
Sn = a1.(q^n  -1)/(q - 1)
Sn = 1.(3^7 - 1)/(3 - 1)
Sn = (2187 - 1)/2
Sn = 2186/2
Sn = 1093

Então poderíamos reescrevê-la como: 

1093x = 5465
x = 5465/1093
x = 5

Bons estudos