Question

Calcule a solução da equação diferencial y' = -x²y², que atenda à condição inicial y(0)=5 e assinale a alternativa que traz corretamente o valor da constante "C"

Answer 1

• Tema:

Equações diferenciais com condições iniciais (variáveis separáveis)

• Introdução:

O que são equações diferenciais com variáveis separáveis: Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma: y´ = F (x, y) é chamada de Variáveis Separáveis se for possível fatorar F (x, y) na forma: F (x, y) = f (x) g (y).

• Problema:

Calcule a solução da equação diferencial y' = -x²y², que atenda à condição inicial y(0)=5 e assinale a alternativa que traz corretamente o valor da constante "C"

• Explicação e solução do problema:

Antes de usar a condição inicial, encontraremos a solução geral da equação diferencial:

$\qquad \qquad { \rm \large y' = - {x}^{2} {y}^{2} }$

Você ouviu por que não simplificamos " y' " por dy/dx, apenas para poder separar as variáveis mais facilmente:

$\qquad \qquad { \rm \large \dfrac{dy}{dx} = - {x}^{2} {y}^{2} }$

Agora tentamos separar as duas variáveis com seus respectivos diferenciais:

$\qquad \qquad { \rm \large \dfrac{dy}{y^2} = - {x}^{2} dx }$

1. De extraímos um fator intrigante para nossa equação diferencial:

$\qquad \qquad { \rm \large \int \dfrac{dy}{y^2} = \int - {x}^{2} dx }$

$\qquad \qquad { \rm \large \int \dfrac{1}{y^2} dy= \int -\dfrac{x^{2+1}}{2+1} dx }$

$\qquad \qquad { \large \rm -\dfrac{1}{y}+c_1= -\dfrac{x^3}{3} +c_2}$

1. Encontramos a solução geral da equação diferencial:

$\qquad \qquad { \large \rm y= \dfrac{\dfrac{x^3}{3} }{1}+C}$

$\red{\qquad \qquad \boxed{ {\boxed{\therefore \large \rm y= \dfrac{3}{x^3+C}}}}}$

Encontramos o valor da constante "C" usando a condição inicial da equação diferencial. A condição inicial é:

• y(0) = 5

Quer dizer que:

• y = 5
• x = 0

É substituído

$\qquad \qquad { \large \rm 5= \dfrac{3}{0^3+C}}$

$\qquad \qquad { \large \rm 5= \dfrac{3}{C}}$

$\qquad \qquad { \large \rm 5C= 3}$

$\green{\qquad \qquad \boxed{{\boxed{\therefore \large \rm C= \dfrac{3}{5}}}}}$

Como não tenho ideia de quais são as opções, irei realizar a operação:

$\blue{\qquad \qquad \boxed{ \large \rm {\boxed{\therefore C=0.6} }}}$

Mais do que solução de equações diferenciais com condições iniciais em:

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Espero ter ajudado!

Deus te abençoe ♥ ️